Уравнение плоскости проходящей через две параллельные прямые

Уравнение плоскости проходящей через две параллельные прямые

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через прямую L1 параллельно другой прямой L2 (прямые L1 и L2 не параллельны). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямых (канонический или параметрический) введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно другой прямой − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2, которые не параллельны:

. (1)
. (2)

Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через прямую L1 параллельно прямой L2(Рис.1).

Прамая L1 должна лежать на искомой плоскости α, следовательно точка M1 должна нежать на плоскости α.

Уравнение плоскости можно записать формулой

Ax+By+Cz+D=0. (3)

и поскольку M1(x1, y1, z1) принадлежит этой плоскости, то справедливо следующее равенство:

Ax1+By1+Cz1+D=0. (4)

Для того, чтобы плоскость α проходила через прямую L1, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q1 прямой L1, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Am1+Bp1+Cl1=0 (5)

Для того, чтобы плоскость α была параллельна прямой L2, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q2 прямой L2, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Am2+Bp2+Cl2=0 (6)

Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (4)−(6). Представим систему линейных уравнений (4)−(6) в матричном виде:

Читайте также:  Паскаль тессье мужчина или женщина
(7)

Решив однородную систему линейных уравнений (7) найдем частное решение. (как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн). Подставляя полученные коэффициенты A, B, C и D в уравнение (3), получим уравнение плоскости, проходящей через прямую L1 параллельно прямой L2.

Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L1:

(8)

паралленьно другой прямой L2 :

(9)

Поскольку плоскость проходит через прямую L1 , то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=M1(1, 1, 5) и нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> перпендикулярна направляющему вектору q1=<m1, p1, l1>= <1, 1, −3>прямой L1. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

(10)

а условие параллельности прямой L1 и искомой плоскости α представляется следующим равенством:

(11)

Так как плоскость α должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:

(12)
(13)
(14)
(15)

Представим эти уравнения в матричном виде:

(16)

Решим систему линейных уравнений (16) отностительно A, B, C, D:

(17)

Так как искомая плоскость проходит через точку M1 и имеет нормальный вектор n=<A, B, C>= <−13/24,1/6,−1/8>то она может быть представлена формулой:

Ax+By+Cz+D=0 (18)

Подставляя значения A,B,C,D в (17), получим:

(18)

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число −24:

13x−4y+3z−24=0 (19)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) параллельно прямой (2) имеет вид (19).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L1:

(20)
q1=<m1, p1, l1>=
q2=<m2, p2, l2>=

Поскольку плоскость проходит через прямую L1 , то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=M1(−2, 0, 1) и нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> перпендикулярна направляющему вектору q1=<m1, p1, l1>= <5, −8, 3>прямой L1. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

Ax1+By1+Cz1+D=0 (22)

а условие параллельности прямой L1 и искомой плоскости α представляется следующим равенством:

Читайте также:  Эльдар муртазин в контакте
(23)

Так как плоскость α должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:

(24)
A(−2)+B·0+C·1+D=0, (25)
A·5+B(−8)+C·3=0, (26)
A·1+B·1+C·1=0, (27)

Представим эти уравнения в матричном виде:

(28)

Решим систему линейных уравнений (28) отностительно A, B, C, D:

(29)

Так как искомая плоскость проходит через точку M1 и имеет нормальный вектор n=<A, B, C>= <11/35,2/35,−13/35>то она может быть представлена формулой:

Ax+By+Cz+D=0 (30)

Подставляя значения A,B,C,D в (30), получим:

(31)

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 35:

11x+2y−13z+35=0 (32)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) параллельно прямой (2) имеет вид (32).

Уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой, задаётся равенством нулю смешанного произведения векторов-разностей (радиусов-векторов соответствующих точек) и направляющего вектора прямой.

Содержание

[править] Обозначения

[math]ar r=(x,y,z)[/math] — радиус-вектор точки плоскости;

[math]ar r_1=(x_1,y_1,z_1)[/math] — радиус-вектор первой точки;

[math]ar r_2=(x_2,y_2,z_2)[/math] — радиус-вектор второй точки;

[math]ar s_3=(l_3,m_3,n_3)[/math] — направляющий вектор прямой.

[править] Формулы:

[math]left(ar r-ar r_1
ight)left(ar r_2-ar r_1
ight)ar s_3=0[/math]

[math]egin x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \ l_3 & m_3 & n_3 end = 0 Leftrightarrow[/math] [math]Leftrightarrow egin y_2-y_1 & z_2-z_1 \ m_3 & n_3 end(x-x_1) -egin x_2-x_1 & z_2-z_1 \ l_3 & n_3 end(y-y_1) +egin x_2-x_1 & y_2-y_1 \ l_3 & m_3 end(z-z_1)=0 [/math]

  • Заметим, что формулы уравнения плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой, аналогичны формулам уравнения плоскости, проходящей через точку и прямую.

Если даны не параллельные прямые L1 и L2, тогда плоскость, проходящая через прямую L1 и параллельная прямой L2 представляется уравнением:

Это и есть уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой.

Читайте также:  Компьютерные сети адресация в интернете

х1, y1, z1 — координаты какой-либо точки прямой L1

ι 1, m1, n1 — направляющие коэффициенты прямой L1

ι 2, m2, n2 — направляющие коэффициенты прямой L2

Ссылка на основную публикацию
Уравнение плоскости по двум пересекающимся прямым
УСЛОВИЕ: Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые x-2/3=y+1/2=z-3/-2 x-1/3=y-2/2=z+3/-2 Добавил yelymcheav , просмотры: ☺ 1976 ⌚ 2019-05-14 15:35:56....
Тест соловея штрассена c
Символ Якоби отличается от символа Лежандра тем, что в первом знаменатель – составное число, а во втором – простое. Алгоритм...
Тест стиральной машины bosch maxx 5
Самодиагностика – это очень важная функция, которая отличает современные стиральные машины с электронным управлением от старой аналоговой техники. Запустив сервисный...
Уравнение баланса мощностей формула
При решений электротехнических задач, часто нужно проверить правильность найденных значений. Для этого в науке ТОЭ, существует так называемый баланс мощностей....
Adblock detector