Уравнение плоскости по двум пересекающимся прямым

Уравнение плоскости по двум пересекающимся прямым

УСЛОВИЕ:

Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые x-2/3=y+1/2=z-3/-2
x-1/3=y-2/2=z+3/-2

Добавил yelymcheav , просмотры: ☺ 1976 ⌚ 2019-05-14 15:35:56. предмет не задан класс не задан класс

Прежде чем получить уравнение плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые, вспомним теорему: через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. Эта теорема доказывается на основе аксиомы о единственной плоскости, проходящей через три заданные точки, с использованием утверждения: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Таким образом, мы можем задать конкретную плоскость в трехмерном пространстве, указав две параллельные прямые, лежащие в этой плоскости.

Очевидно, что плоскость, проходящая через две заданные параллельные прямые, совпадает с плоскостью, проходящей через три различные точки, две из которых лежат на одной из заданных параллельных прямых, а третья лежит на другой прямой.

Теперь можно приступать к нахождению уравнения плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые.

Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz, заданы две параллельные прямые a и b и требуется составить уравнение плоскости, которая проходит через параллельные прямые a и b.

Эта задача, также как и задача о нахождении уравнения плоскости, проходящей через две заданные пересекающиеся прямые, сводится к составлению уравнения плоскости, проходящей через три точки. Действительно, мы можем определить координаты двух точек М1 и М2, лежащих на одной из заданных параллельных прямых, и координаты точки М3, лежащей на другой прямой. После этого нам лишь нужно написать уравнение плоскости, проходящей через три точки и , в виде . Это уравнение является искомым уравнением плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости.

Задача нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости, возникает из следующей теоремы: через любую точку пространства, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной. Доказательство этой теоремы можно найти в учебнике геометрии для 1011 классов, указанном в конце статьи.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, в ней задана плоскость и точка, не лежащая в плоскости. Поставим перед собой задачу: написать уравнение плоскости, проходящей через точкупараллельно плоскости.

Нам известно, что общее уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор плоскости, имеет вид. Таким образом, мы сможем записать требуемое уравнение плоскости, если определим координаты ее нормального вектора.

При изучении темы «нормальный вектор плоскости» мы отметили, что нормальный вектор одной из двух параллельных плоскостей является нормальным вектором второй плоскости. Следовательно, в силу параллельности плоскостей и, нормальным вектором плоскостиявляется любой нормальный вектор заданной плоскости. Таким образом, задача составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точкуМ1 параллельно заданной плоскости, сводится к определению координат нормального вектора плоскости. В свою очередь координаты нормального вектора плоскостипроще всего получить, если иметь перед глазами общее уравнение плоскостивида. В этом случае коэффициентыA, B,C перед переменными x, y, z являются соответствующими координатами нормального вектора плоскости .

Читайте также:  Часы мужские philip persio

Итак, запишем алгоритм нахождения уравнения плоскости , проходящей через заданную точкупараллельно заданной плоскости:

получаем общее уравнение плоскости в виде(если оно нам уже не дано в условии) и записываем ее нормальный вектор;

принимаем этот вектор в качестве нормального вектора плоскости ;

записываем уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор, в виде— это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.

Следует заметить, что если точка М1 лежит в плоскости , то, действуя по записанному алгоритму, мы получим уравнение плоскости, которая совпадает с плоскостью.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой.

Поставим перед собой следующую задачу.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка , прямаяa и требуется написать уравнение плоскости , проходящей через точкуМ1 перпендикулярно к прямой a.

Сначала вспомним один важный факт.

На уроках геометрии в средней школе доказывается теорема: через заданную точку трехмерного пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой (доказательство этой теоремы Вы можете найти в учебнике геометрии за 1011 классы, указанном в списке литературы в конце статьи).

Теперь покажем, как находится уравнение этой единственной плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Мы можем написать общее уравнение плоскости, если нам известны координаты точки, лежащей в этой плоскости, и координаты нормального вектора плоскости.

В условии задачи нам даны координаты x1, y1, z1 точки М1, через которую проходит плоскость . Тогда, если мы найдем координаты нормального вектора плоскости, то мы сможем составить требуемое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Любой направляющий вектор прямой a представляет собой нормальный вектор плоскости , так как он ненулевой и лежит на прямойa, перпендикулярной к плоскости . Таким образом, нахождение координат нормального вектора плоскостисводится к нахождению координат направляющего вектора прямойa.

В свою очередь, координаты направляющего вектора прямой a могут определяться различными способами, зависящими от способа задания прямой a в условии задачи. Например, если прямуюa в прямоугольной системе координат задают канонические уравнения прямой в пространстве вида илипараметрические уравнения прямой в пространстве вида , то направляющий вектор этой прямой имеет координатыax, ay и az; если же прямая a проходит через две точки и, то координаты ее направляющего вектора определяются как.

Итак, получаем алгоритм для нахождения уравнения плоскости , проходящей через заданную точкуперпендикулярно к заданной прямойa:

Читайте также:  Как сделать заводские настройки на dexp

находим координаты направляющего вектора прямой a ();

принимаем координаты направляющего вектора прямой a как соответствующие координаты нормального вектора плоскости(, где);

записываем уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор, в виде— это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой.

Из найденного общего уравнения плоскости вида можно, при необходимости, получитьуравнение плоскости в отрезках и нормальное уравнение плоскости.

Пусть плоскость α проходят через прямые l1 и l2, заданные соответственно уравнениями:

, (2)

Обозначим М2(x2,y2,z2), =(m1,n1,р1), =(m2,n2,p2) и М(х,у,z) произвольная точка плоскости α

уравнение плоскости, проходящей через две прямые.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Пусть прямые l1 и l2, заданные уравнениями вида (2), являются скрещивающимися. Тогда расстоянием d между ними называется длина перпендикуляра, проведенного из одно прямой на другую. Заметим, что искомое расстояние равно отрезку перпендикуляра, закаченного между плоскостями α1 и α2, где плоскости α1 и α2 одновременно параллельны векторам и , и проходят соответственно через прямые l1 и l2

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть прямая l и плоскость α заданы соответственно уравнениями

, α: Ax + By + Cz + D = 0.

1) прямая l лежит в плоскости α, если

2) прямая l параллельна плоскости α, если

3) прямая l пересекает плоскость α если

Am + Вn + Ср 0.

Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой l и плоскостью α называется угол φ, образованный прямой l и ее проекцией l1 на плоскость α

Тогда и

.

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Парабола

Определение:Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой точки, называемой фокусом параболы и некоторой прямой, называемой директрисой параболы.

Уравнение параболы принятo записывать в следующем виде:

каноническое уравнение параболы.

Свойства параболы непосредственно следуют из свойств уравнения:

1.Абсцисса любой точки параболы неотрицательна

2.Парабола проходит через начало координат.

3.Парабола симметрична относительно оси абсцисс.

4.При неограниченном возрастании абсциссы x ордината у возрастает по абсолютной величине.

Точка F( ;0) называется фокусом параболы, прямая директрисой.

Величина р называется фокальным параметром или просто параметром параболы.

Эллипс

Определение.Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, равная 2а (а>0), большая, чем расстояние между фокусами.

Для составления уравнение эллипса выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось ОХ

проходила через фокусы F1 и F2, а начало координат — точка О находилась в середине отрезка F1F2.

Обозначим F1F2 = 2с. Тогда F1(-с,0), F2(c,0). Пусть М(х,у) – произвольная точка эллипса. Тогда MF1+ MF2= 2а, а>с.

Так как , и уравнение принимает вид:

. (2)

Пусть координаты точки М111)удовлетворяют уравнению (2).

Читайте также:  Что такое метод в java

Обозначим r1 = F1M1, r2 = F2M2фокальные радиусы точек М1 М2. Тогда , , значит, r1+r2=2a.

Теперь по свойствам уравнения (2) исследуем геометрические свойства эллипса.

1. Оси ОХ и ОУ являются осями симметрии эллипса. Следовательно, эллипс достаточно исследовать только в первой координатной четверти.

2. Эллипс пересекает координатные оси в точках А1(-а,0), А2(а,0), В1(0,b), В2(0,-b), называемых вершинами эллипса.

3. Эллипс расположен в прямоугольнике, ограниченном прямыми х= а, у = b.

4. Из уравнений следует, что при возрастании х от 0 до а в первой координатной четверти, у убывает от b до 0.

По полученным свойствам строим эллипс Отрезок А1А2 и его длина 2а называются большой осью эллипса, а отрезок B1B2 и его длина 2b называются малой осью эллипса. Отрезок ОА1 с длиной а и отрезок ОВ1 с длиной b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Длина отрезка F1F2=2с называется фокусным расстоянием, начало координат — центр эллипса.

Если а=b, то получаем каноническое уравнение окружности

Уравнения х = acost, у = bsint —

параметрические уравнения эллипса.

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется число

Так как с 0, меньшая чем расстояние между фокусами.

Выберем декартову прямо-угольную систему координат ОХY так, как показано на рисунке. Тогда F1F2=2с, F1(—с,0), F2(c,0).

Для произвольной точки М(х,у), принадлежащей гиперболе, имеем МF1—MF2= 2а, а 2 —а 2 =b 2 , тогда каноническое уравнение гипрболы имеет вид:

(3)

По свойствам уравнения (3) исследуем свойства гиперболы:

1. Координатные оси являются осями симметрии гиперболы. Поэтому гиперболу достаточно исследовать только в первой координатной четверти.

2. Если у = 0, то x = а. Если х = 0, то уравнение (3) решений не имеет. Значит, гипербола пересекает только ось ОХ в точках А1(—а,0), А2(а,0), называемых вершинами гиперболы.

,

то |х| а. Поэтому гипербола расположена вне полосы, ограниченной прямыми x= а.

4. Если x возрастает от а до + , то из (1.12) следует, что у возрастает от 0 до + в первой координатной четверти.

наклонные асимптоты гиперболы.

По полученным свойствам строим гиперболу. Отрезок А1А2 и его длина 2а называются действительной осью гиперболы, а отрезок ОА1 и его длина адействительной полуосью. Отрезок В1В2 и его длина 2bмнимая ось гиперболы, а отрезок ОВ1 и его длина bмнимая полуось. Длина отрезка F1F2=2с называется фокусным расстоянием, начало координат — центр гиперболы.

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется величина

.

Так как для гиперболы с > а, и следовательно, чем меньше ε, тем более сжата гипербола к оси ОХ.

Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; Нарушение авторского права страницы

Ссылка на основную публикацию
Тест соловея штрассена c
Символ Якоби отличается от символа Лежандра тем, что в первом знаменатель – составное число, а во втором – простое. Алгоритм...
Стрим с камеры телефона
На сегодняшний день сервис YouTube прочно закрепился на позициях лидера мирового интернет медиарынка. Всего несколько лет назад вести свой канал...
Строки в pascal abc
Для обработки строковой информации в Турбо Паскаль введен строковый тип данных. Строкой в Паскале называется последовательность из определенного количества символов....
Тест стиральной машины bosch maxx 5
Самодиагностика – это очень важная функция, которая отличает современные стиральные машины с электронным управлением от старой аналоговой техники. Запустив сервисный...
Adblock detector