Уравнение баланса мощностей формула

Уравнение баланса мощностей формула

При решений электротехнических задач, часто нужно проверить правильность найденных значений. Для этого в науке ТОЭ, существует так называемый баланс мощностей.

Баланс мощностей – это выражение закона сохранения энергии, в электрической цепи. Определение баланса мощностей звучит так: сумма мощностей потребляемых приемниками, равна сумме мощностей отдаваемых источниками. То есть если источник ЭДС в цепи отдает 100 Вт, то приемники в этой цепи потребляют ровно такую же мощность.

Или

Проверим это соотношение на простом примере.

Для начала свернем схему и найдем эквивалентное сопротивление. R2 и R3 соединены параллельно.

Найдем по закону Ома ток источника и напряжение на R23, учитывая, что r1 и R23 соединены последовательно, следовательно, сила тока одинаковая.

Теперь проверим правильность с помощью баланса мощностей.

Небольшое различие в значениях связано с округлениями в ходе расчета.

С помощью баланса мощностей, можно проверить не только простую цепь, но и сложную. Давайте проверим сложную цепь из статьи метод контурных токов.

Как видите независимо от сложности цепи, баланс сошелся, и должен сойтись в любой цепи!

В соответствии с законом сохранения энергии в любой электрической цепи энергия, вырабатываемая всеми источниками в единицу времени, равна энергии, потребляемой приемниками электрической энергии в единицу времени. Т.е. в электрических цепях энергетический баланс можно свести к балансу мощностей.

Рассмотрим обобщенную электрическую цепь постоянного тока произвольной конфигурации, с произвольным числом источников электрической энергии и произвольным числом приемников электрической энергии. Если все источники являются источниками ЭДС, то уравнение баланса мощностей для такой цепи можно записать в виде:

.

Левая часть уравнения баланса мощностей представляет собой арифметическую сумму мощностей, обусловленных выделением тепла на сопротивлениях Rпри протекании через них токаIв соответствии с законом Джоуля-Ленца. Эта сумма охватывает все сопротивленияR электрической цепи, в том числе и внутренние сопротивления источниковRi.

Правая часть уравнения баланса мощностей представляет собой алгебраическую сумму мощностей источников ЭДС. Выбор знака очередного члена алгебраической суммы производится в соответствии с энергетическими соотношениями, характерными для режимов генерирования и потребления электрической энергии реальным источником ЭДС, которые были рассмотрены в предыдущем параграфе. А именно: если знаки EиIодинаковы, то мощность источникаEI положительна, и он работает в режиме генерирования электрической энергии; если знакиEиIразличны, то мощность источникаEI отрицательна, и он работает в режиме потребления электрической энергии.

При наличии в схеме источников тока их мощность также необходимо учесть в правой части уравнения баланса мощностей. Предположим, что источник тока включен между узлами a иb схемы: в узелaвтекает токIkисточника тока, а из узлаbон вытекает. Тогда на выводных зажимах источника тока будет напряжениеUab. Если знакиIkиUabодинаковы, то мощность источника токаUabIk положительна, и он работает в режиме генерирования электрической энергии. Если знакиIkиUabразличны, то мощность источника токаUabIk отрицательна, и он работает в режиме потребления электрической энергии.

С учетом изложенного уравнение баланса мощностей для цепи, содержащей как источники ЭДС, так и источники тока, можно записать в следующем виде:

.

Уравнения баланса мощностей удобно использовать для проверки правильности расчета токов в ветвях электрической цепи.

Пример 7. Проверить правильность расчета токов в примере 3 для схемы рис. 31 путем составления баланса мощностей.

Решение

Составляем уравнение баланса мощностей для схемы рис. 31:

Подставляем численные значения:

Производя вычисления, получаем:

Баланс мощностей сошелся. Токи рассчитаны правильно.

17. Режимы работы электрических цепей постоянного тока

В настоящем параграфе рассматривается вопрос выбора возможного режима работы электрической цепи постоянного тока с точки зрения энергопотребления от генератора.

Схема обобщенной линейной электрической цепи постоянного тока представлена на рис. 1. Она состоит из источника с ЭДС Еи внутренним сопротивлениемRiи приемника с сопротивлениемR. Источник работает в режиме генератора и отдает энергию приемнику. ЭДСЕи внутреннее сопротивлениеRiисточника являются константами. СопротивлениеRприемника величина переменная. Изменяя величину сопротивленияRприемника, можно изменить ток в схеме. ЗависимостьI(R) при неизменных значенияхEиRiвыражает формула закона Ома (3). Связь между напряжениемUи токомIвыражается формулой:

,

которой соответствует внешняя характеристика источника U(I), представленная на рис. 55 отрезком прямой между точками холостого хода 1 и короткого замыкания 2.

электрической цепи постоянного тока

Режим работы электрической цепи определяется положением рабочей точки на внешней характеристике источника. Каждой точке внешней характеристики и соответственно каждому режиму работы электрической цепи соответствуют свое напряжение Uи токI. Кроме того, каждый режим работы электрической цепи характеризуется и другими параметрами, такими как мощностьP1 =EI, вырабатываемая источником, мощностьюP2=UI, потребляемая приемником, КПД η =P2/P1. Графики зависимостейP1(I),P2(I), и η(I) приведены на рис. 55 наряду с внешней характеристикой. ЗависимостьP1(I) представляет собой отрезок прямой линии, выходящий из начала координат. ЗависимостьP2(I) – это кривая, выходящая из начала координат и приходящая в точку короткого замыкания 2. График функцииP2(I) имеет явно выраженный экстремум. Зависимость η(I) представляет собой отрезок прямой, который строится в соответствии с формулой

Читайте также:  Протокол samba что это

.

На внешней характеристике можно выделить четыре характерных режима работы электрической цепи. Это режим холостого хода 1, режим короткого замыкания 2, так называемый согласованный режим работы 3 и номинальный режим работы. Номинальный режим – это основной расчетный режим работы электрической цепи. Положение точки номинального режима работы электрической цепи на внешней характеристике зависит от назначения электрической цепи.

В режиме холостого хода выходные зажимы источника разомкнуты (рис. 56). Сопротивление приемника в режиме холостого хода равно бесконечности (Rxx= ). Ток холостого хода равен нулю (Ixx= 0). Напряжение холостого хода равно ЭДС источника (Uxx=E). Источник не отдает энергию во внешнюю цепь (P1= 0). Приемник энергию не потребляет (P2= 0). КПД в режиме холостого хода максимален (ηxx= 1, см. рис.1.20). Реальные источники электрической энергии работают в режиме холостого хода только непродолжительное время. Например, перед подключением на их зажимы нагрузки или после ее снятия.

Рис. 56. Схема цепи постоянного тока, работающей

в режиме холостого хода

В режиме короткого замыкания выходные зажимы источника соединены между собой (рис. 57).

Сопротивление приемника в режиме короткого замыкания равно нулю (Rкз= 0). Ток короткого замыкания достигает максимально возможного значения и ограничивается только внутренним сопротивлением источника

.

ЭДС источника уравновешивается падением напряжения на внутреннем сопротивлении источника, то есть E=RiIкз. Напряжение, подводимое к приемнику, равно нулю (Uкз= 0). МощностьP1, вырабатываемая источником, максимальна. Энергия, вырабатываемая источником, выделяется в виде тепла на внутреннем сопротивлении источника. МощностьP2, потребляемая приемником, равна нулю. КПД режима короткого замыкания равен нулю (ηкз= 0, см. рис. 55).

Рис. 57. Схема цепи постоянного тока, работающей

в режиме короткого замыкания

Для большинства электрических цепей (прежде всего, силовых) режим короткого замыкания неприемлем из-за нулевого КПД и нулевой мощности P2, потребляемой приемником. Поэтому большинство электрических цепей для работы в режиме короткого замыкания не рассчитаны. Для них режим короткого замыкания является аварийным, т.к. токIкзи мощностьP1кз, вырабатываемая источником, в режиме короткого замыкания существенно превышают значениеIниPноминального режима работы. Однако для некоторых слаботочных цепей режим, близкий к режиму короткого замыкания, может использовать в качестве номинального режима. Например, когда возникает необходимость в подключении приемника с малым входным сопротивлением к источнику с большим внутренним сопротивлением.

Итак, точка рабочего режима электрической цепи на внешней характеристике может лежать между точками холостого хода 1 и короткого замыкания 2 (см. рис. 55). Выбор оптимального режима работы электрической цепи зависит от назначения электрической цепи.

Для ряда цепей, например, оптимальным будет режим, при котором от источника к приемнику передается максимальная мощность. Этот режим называется согласованным режимом работы. Для установления условия передачи от источника к приемнику максимальной мощности необходимо выразить зависимость мощности P2, выделяющейся в приемнике, от величины сопротивления приемникаR, взять производнуюdP2/dRи приравнять ее к нулю.

Ток I(рис. 1) определяется в соответствии с законом Ома

.

Мощность P2, выделяющаяся в приемнике, определяется законом Джоуля-Ленца

.

.

Полученное выражение равно нулю, если равен нулю числитель

,

а это возможно, если сопротивление приемника Rравно внутреннему сопротивлению источникаRi. Итак, равенствоR = Riявляется условием передачи максимальной мощности от источника к приемнику. На внешней характеристике режиму передачи максимальной мощности соответствует точка 3 (рис. 55).

В приемнике выделяется мощность P2 = RI 2 , в источнике ΔP = RiI 2 . ЕслиR = Ri, то эти мощности одинаковы. МощностьP2, выделяющаяся в приемнике, является полезной. Мощность ΔP, выделяющаяся в источнике, представляет собой потери мощности. Вся энергия вырабатывается источником. Поэтому в согласованном режиме полезная мощность составляет только половину от мощностиP1 = P2 + ΔP, вырабатываемой источником. КПД такого режима равен 50 %. Поэтому согласованный режим может быть номинальным только в цепях, для которых энергетические показатели не являются определяющими. Это слаботочные цепи, например, информационные цепи, электронные цепи устройств автоматики и другие.

Для силовых цепей при выборе номинального режима определяющим фактором являются энергетические показатели и, прежде всего, высокий КПД. Судовые силовые электротехнические устройства рассчитываются так, чтобы в номинальном режиме их КПД лежал в пределах 85–95 %. На рис. 55 этот участок расположен между точками 4–5 внешней характеристики.

Читайте также:  Черный фон для аска

Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: Учебник. – М.: Гардарики, 2002. – 638 с.

Основы теории цепей: Учебник для вузов/Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. – М.: «Энергоатомиздат», 1989. – 528 с.

Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. – М.: Высшая школа, 1990. – 544 с.

В соответствии с законом сохранения энергии в любой электрической цепи энергия, вырабатываемая всеми источниками в единицу времени, равна энергии, потребляемой приемниками электрической энергии в единицу времени. Т.е. в электрических цепях энергетический баланс можно свести к балансу мощностей.

Рассмотрим обобщенную электрическую цепь постоянного тока произвольной конфигурации, с произвольным числом источников электрической энергии и произвольным числом приемников электрической энергии. Если все источники являются источниками ЭДС, то уравнение баланса мощностей для такой цепи можно записать в виде:

.

Левая часть уравнения баланса мощностей представляет собой арифметическую сумму мощностей, обусловленных выделением тепла на сопротивлениях Rпри протекании через них токаIв соответствии с законом Джоуля-Ленца. Эта сумма охватывает все сопротивленияR электрической цепи, в том числе и внутренние сопротивления источниковRi.

Правая часть уравнения баланса мощностей представляет собой алгебраическую сумму мощностей источников ЭДС. Выбор знака очередного члена алгебраической суммы производится в соответствии с энергетическими соотношениями, характерными для режимов генерирования и потребления электрической энергии реальным источником ЭДС, которые были рассмотрены в предыдущем параграфе. А именно: если знаки EиIодинаковы, то мощность источникаEI положительна, и он работает в режиме генерирования электрической энергии; если знакиEиIразличны, то мощность источникаEI отрицательна, и он работает в режиме потребления электрической энергии.

При наличии в схеме источников тока их мощность также необходимо учесть в правой части уравнения баланса мощностей. Предположим, что источник тока включен между узлами a иb схемы: в узелaвтекает токIkисточника тока, а из узлаbон вытекает. Тогда на выводных зажимах источника тока будет напряжениеUab. Если знакиIkиUabодинаковы, то мощность источника токаUabIk положительна, и он работает в режиме генерирования электрической энергии. Если знакиIkиUabразличны, то мощность источника токаUabIk отрицательна, и он работает в режиме потребления электрической энергии.

С учетом изложенного уравнение баланса мощностей для цепи, содержащей как источники ЭДС, так и источники тока, можно записать в следующем виде:

.

Уравнения баланса мощностей удобно использовать для проверки правильности расчета токов в ветвях электрической цепи.

Пример 7. Проверить правильность расчета токов в примере 3 для схемы рис. 31 путем составления баланса мощностей.

Решение

Составляем уравнение баланса мощностей для схемы рис. 31:

Подставляем численные значения:

Производя вычисления, получаем:

Баланс мощностей сошелся. Токи рассчитаны правильно.

17. Режимы работы электрических цепей постоянного тока

В настоящем параграфе рассматривается вопрос выбора возможного режима работы электрической цепи постоянного тока с точки зрения энергопотребления от генератора.

Схема обобщенной линейной электрической цепи постоянного тока представлена на рис. 1. Она состоит из источника с ЭДС Еи внутренним сопротивлениемRiи приемника с сопротивлениемR. Источник работает в режиме генератора и отдает энергию приемнику. ЭДСЕи внутреннее сопротивлениеRiисточника являются константами. СопротивлениеRприемника величина переменная. Изменяя величину сопротивленияRприемника, можно изменить ток в схеме. ЗависимостьI(R) при неизменных значенияхEиRiвыражает формула закона Ома (3). Связь между напряжениемUи токомIвыражается формулой:

,

которой соответствует внешняя характеристика источника U(I), представленная на рис. 55 отрезком прямой между точками холостого хода 1 и короткого замыкания 2.

электрической цепи постоянного тока

Режим работы электрической цепи определяется положением рабочей точки на внешней характеристике источника. Каждой точке внешней характеристики и соответственно каждому режиму работы электрической цепи соответствуют свое напряжение Uи токI. Кроме того, каждый режим работы электрической цепи характеризуется и другими параметрами, такими как мощностьP1 =EI, вырабатываемая источником, мощностьюP2=UI, потребляемая приемником, КПД η =P2/P1. Графики зависимостейP1(I),P2(I), и η(I) приведены на рис. 55 наряду с внешней характеристикой. ЗависимостьP1(I) представляет собой отрезок прямой линии, выходящий из начала координат. ЗависимостьP2(I) – это кривая, выходящая из начала координат и приходящая в точку короткого замыкания 2. График функцииP2(I) имеет явно выраженный экстремум. Зависимость η(I) представляет собой отрезок прямой, который строится в соответствии с формулой

.

На внешней характеристике можно выделить четыре характерных режима работы электрической цепи. Это режим холостого хода 1, режим короткого замыкания 2, так называемый согласованный режим работы 3 и номинальный режим работы. Номинальный режим – это основной расчетный режим работы электрической цепи. Положение точки номинального режима работы электрической цепи на внешней характеристике зависит от назначения электрической цепи.

Читайте также:  Amd athlon 64 x2 dual core 5400

В режиме холостого хода выходные зажимы источника разомкнуты (рис. 56). Сопротивление приемника в режиме холостого хода равно бесконечности (Rxx= ). Ток холостого хода равен нулю (Ixx= 0). Напряжение холостого хода равно ЭДС источника (Uxx=E). Источник не отдает энергию во внешнюю цепь (P1= 0). Приемник энергию не потребляет (P2= 0). КПД в режиме холостого хода максимален (ηxx= 1, см. рис.1.20). Реальные источники электрической энергии работают в режиме холостого хода только непродолжительное время. Например, перед подключением на их зажимы нагрузки или после ее снятия.

Рис. 56. Схема цепи постоянного тока, работающей

в режиме холостого хода

В режиме короткого замыкания выходные зажимы источника соединены между собой (рис. 57).

Сопротивление приемника в режиме короткого замыкания равно нулю (Rкз= 0). Ток короткого замыкания достигает максимально возможного значения и ограничивается только внутренним сопротивлением источника

.

ЭДС источника уравновешивается падением напряжения на внутреннем сопротивлении источника, то есть E=RiIкз. Напряжение, подводимое к приемнику, равно нулю (Uкз= 0). МощностьP1, вырабатываемая источником, максимальна. Энергия, вырабатываемая источником, выделяется в виде тепла на внутреннем сопротивлении источника. МощностьP2, потребляемая приемником, равна нулю. КПД режима короткого замыкания равен нулю (ηкз= 0, см. рис. 55).

Рис. 57. Схема цепи постоянного тока, работающей

в режиме короткого замыкания

Для большинства электрических цепей (прежде всего, силовых) режим короткого замыкания неприемлем из-за нулевого КПД и нулевой мощности P2, потребляемой приемником. Поэтому большинство электрических цепей для работы в режиме короткого замыкания не рассчитаны. Для них режим короткого замыкания является аварийным, т.к. токIкзи мощностьP1кз, вырабатываемая источником, в режиме короткого замыкания существенно превышают значениеIниPноминального режима работы. Однако для некоторых слаботочных цепей режим, близкий к режиму короткого замыкания, может использовать в качестве номинального режима. Например, когда возникает необходимость в подключении приемника с малым входным сопротивлением к источнику с большим внутренним сопротивлением.

Итак, точка рабочего режима электрической цепи на внешней характеристике может лежать между точками холостого хода 1 и короткого замыкания 2 (см. рис. 55). Выбор оптимального режима работы электрической цепи зависит от назначения электрической цепи.

Для ряда цепей, например, оптимальным будет режим, при котором от источника к приемнику передается максимальная мощность. Этот режим называется согласованным режимом работы. Для установления условия передачи от источника к приемнику максимальной мощности необходимо выразить зависимость мощности P2, выделяющейся в приемнике, от величины сопротивления приемникаR, взять производнуюdP2/dRи приравнять ее к нулю.

Ток I(рис. 1) определяется в соответствии с законом Ома

.

Мощность P2, выделяющаяся в приемнике, определяется законом Джоуля-Ленца

.

.

Полученное выражение равно нулю, если равен нулю числитель

,

а это возможно, если сопротивление приемника Rравно внутреннему сопротивлению источникаRi. Итак, равенствоR = Riявляется условием передачи максимальной мощности от источника к приемнику. На внешней характеристике режиму передачи максимальной мощности соответствует точка 3 (рис. 55).

В приемнике выделяется мощность P2 = RI 2 , в источнике ΔP = RiI 2 . ЕслиR = Ri, то эти мощности одинаковы. МощностьP2, выделяющаяся в приемнике, является полезной. Мощность ΔP, выделяющаяся в источнике, представляет собой потери мощности. Вся энергия вырабатывается источником. Поэтому в согласованном режиме полезная мощность составляет только половину от мощностиP1 = P2 + ΔP, вырабатываемой источником. КПД такого режима равен 50 %. Поэтому согласованный режим может быть номинальным только в цепях, для которых энергетические показатели не являются определяющими. Это слаботочные цепи, например, информационные цепи, электронные цепи устройств автоматики и другие.

Для силовых цепей при выборе номинального режима определяющим фактором являются энергетические показатели и, прежде всего, высокий КПД. Судовые силовые электротехнические устройства рассчитываются так, чтобы в номинальном режиме их КПД лежал в пределах 85–95 %. На рис. 55 этот участок расположен между точками 4–5 внешней характеристики.

Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: Учебник. – М.: Гардарики, 2002. – 638 с.

Основы теории цепей: Учебник для вузов/Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. – М.: «Энергоатомиздат», 1989. – 528 с.

Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. – М.: Высшая школа, 1990. – 544 с.

Ссылка на основную публикацию
Уравнение плоскости по двум пересекающимся прямым
УСЛОВИЕ: Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые x-2/3=y+1/2=z-3/-2 x-1/3=y-2/2=z+3/-2 Добавил yelymcheav , просмотры: ☺ 1976 ⌚ 2019-05-14 15:35:56....
Тест соловея штрассена c
Символ Якоби отличается от символа Лежандра тем, что в первом знаменатель – составное число, а во втором – простое. Алгоритм...
Тест стиральной машины bosch maxx 5
Самодиагностика – это очень важная функция, которая отличает современные стиральные машины с электронным управлением от старой аналоговой техники. Запустив сервисный...
Уравнение баланса мощностей формула
При решений электротехнических задач, часто нужно проверить правильность найденных значений. Для этого в науке ТОЭ, существует так называемый баланс мощностей....
Adblock detector