Теорема кантора о равномерной непрерывности

Теорема кантора о равномерной непрерывности

Разберем теперь важное и сложное понятие равномерной непрерывности.

Пусть имеется функция f(x), которая непрерывна на некотором множестве Х. Вспомним, что это означает: это означает, что f(x) непрерывна в каждой точке этого множества и записывается так:

Обратим внимание на величину d, стоящую после квантора . От чего она зависит?

Общее правило гласит, что величина, стоящая после квантора зависит от всех величин, которые стоят после квантора , которые расположены впереди квантора . В данном случае перед d стоят два квантора . Поэтому d зависит от e и, и это самое главное, от х, т.е. d=d(e,x).

Так вот, эта зависимость d от х очень сильно мешает при доказательстве многих теорем. Хотелось бы, чтобы d зависело только от e и не зависело от х, т.е.d было бы одинаково пригодно для всех хÎ Х. Это желание избавиться от зависимости d от х и приводит к понятию равномерной непрерывности.

Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве Х, если

.

Обратите внимание на то, куда преместился квантор . Теперь он стоит после квантора и поэтому d зависит теперь только от e и не зависит от х. Это местоположение квантора и есть главное в понятии равномерной непрерывности f(x) на множестве Х.

А теперь докажем достаточно сложную теорему о равномерной непрерывности f(x).

Теорема Кантора. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a,b]. Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

1. Построение последовательностей.

Возьмем любую последовательность dn, которая монотонно убывает до нуля, т.е.

Тогда для каждого dn

Перебирая все dn мы получим две последовательности n> и .

2. Выделение сходящихся подпоследовательностей.

Рассмотрим последовательность n>. Она ограничена, т.к. a£ xn£ b. По лемме Больцано-Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность , т.е. . Заметим, что cÎ[a,b] в силу замкнутости [a,b]. А что можно сказать о подпоследовательности ? Т.к. , то .

Но так как а то по теореме “о двух милиционерах” отсюда следует, что также , т.е. подпоследовательность сходится к тому же пределу c, что и .

3. Сведение к противоречию.

Рассмотрим теперь последний квантор

Переходя к пределу k®¥ и учитывая непрерывность функции y=|x|, получим:

В силу непрерывности f(x) , так что получаем, что

т.е. получаем, что e£ 0. Это противоречит квантору , где e строго больше 0. сплошь, если

.

Теорема 2. Для того, чтобы монотонная функция f(x) была непрерывной на [a,b], необходимо и достаточно, чтобы ее значения заполняли отрезок [f(a), f(b)] сплошь.

Читайте также:  Ресурсы установщика не найдены mac os

Пусть, для определенности, f(x) монотонно возрастает.

1. Пусть f(x) непрерывна на [a,b]. Тогда . Согласно второй теореме Больцано-Коши, . Поэтому отрезок [f(a),f(b)] заполнен сплошь.

2. Пусть f(x) не является непрерывной на [a,b]. Тогда она на [a,b] может иметь только разрывы I рода. Пусть х – координата такого разрыва. Возможные поведения графика f(x) изображены на рисунках.

Из них видно, что в этом случае отрезок [f(a), f(b)] заполнен не сплошь.

Последнее изменение этой страницы: 2016-09-20; Нарушение авторского права страницы

Связанные понятия

Квазианалити́ческие фу́нкции в математическом анализе — класс функций, которые, нестрого говоря, можно полностью реконструировать по их значениям на небольшом участке (например, на границе области). Такое свойство значительно облегчает решение дифференциальных уравнений и исследование других задач анализа. Поскольку это свойство выполняется для аналитических функций (см. Комплексный анализ), то класс квазианалитических функций содержит класс обычных аналитических функций и может рассматриваться как.

В компле́ксном анализе вы́четом заданного объекта (функции, формы) называется объект (число, форма или когомологический класс формы), характеризующий локальные свойства заданного.

В математике монодро́ми́ей называется явление, состоящее в преобразовании некоторого объекта при обнесении его вдоль нетривиального замкнутого пути.

В математике, когерентные пучки — это класс пучков, тесно связанных с геометрическими свойствами пространства-носителя. В определении когерентного пучка используется пучок колец, который хранит эту геометрическую информацию.

В настоящее время отсутствует единое определение точно решаемой задачи для всех разделов математики. Это обусловлено особенностями самих задач и методов поиска их решения. Вместе с тем базовые теоремы, определяющие наличие и единственность решений, строятся на общих принципах, что будет показано ниже.

Я не совсем понял эту тему, можете объяснить?

То, что функция просто непрерывна, это значит, что предельное значение функции в точке равно частному значению функции в этой точке.
А в этом утверждении, я так понял, говорится о непрерывности на всей числовой прямой или на всем множестве, на котором функция задана, для чего вообще нужна такая "равномерная" непрерывность?
И в этом утверждении говорится про произвольные точки $%x’, x»$%, и если выбрать (фиксировать), например, $%x»=x_0$%, то получится самое определение непрерывности. Но для чего мы каким-то образом приближаем расстояния, на которых находятся эти $%x’, x»$% и соответствующие значения функии в них?

Читайте также:  Одноклассники помощь официальный сайт

@Dragon65, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

1 ответ

Равномерная непрерывность по смыслу означает, что если расстояние между "иксами" достаточно мало, то и расстояние между "игреками" будет гарантированно мало. Отличие от случая обычной непрерывности в том, что для каждого $%x_0=x»$% зависимость $%delta$% от $%varepsilon$% получается своя для каждой точки, то есть она зависит от $%x_0$%. А равномерность предполагает, что возможен выбор такого $%delta$%, которое зависит только от $%varepsilon$%, и оно будет подходить ко всем точкам $%x_0$% из множества, на котором всё рассматривается.

Например, рассмотрим функцию $%y=frac1x$% на множестве $%M=(0;1]$%. Она не будет на нём равномерно непрерывна. Возьмём для примера $%varepsilon=frac1<10>$%. Посмотрим на точку $%x_0=frac12$%. Значение функции в ней равно 2, а мы хотим попасть в пределы точности $%2pmfrac1<10>$%. Этому соответствуют значения $%x$% между $%frac<10><21>$% и $%frac<10><19>$%. Легко видеть, что здесь подходит значение $%delta=frac1<42>$%.

Теперь будем менять точку $%x_0$%, приближая её к нулю. Допустим, я взял $%x_0=frac1<100>$%. Значение функции теперь равно $%100$%, а нас устраивают те $%x$%, для которых мы попадаем в пределы точности $%100pmfrac1<10>$%. Легко понять, что $%delta=frac1<42>$% из предыдущего примера здесь уже не подойдёт, потому что в этих пределах по оси $%x$% находятся точки, в которых функция уходит в бесконечность, принимая сколь угодно большие значения.

Обобщая, можно сказать, что не подойдёт никакое фиксированное $%delta$%, чтобы обеспечить даже такую "скромную" точность как $%frac1<10>$%. Допустим, я выбрал $%delta=10^<-6>$%. Это совершенно ничего не гарантирует, потому что для точки, скажем, $%x_0=delta/2$%, вблизи неё будут иметься точки, в которых значения функции не ограничены сверху. Поэтому никакое $%delta$% не подойдёт для всех $%x_0in M$% сразу. Это и есть отсутствие равномерной непрерывности.

отвечен 1 Ноя ’14 21:03

falcao
247k ● 2 ● 35 ● 48

Т.е. можно сказать, что равномерная непрерывность сводится к ограниченности функции сверху и снизу на данном множестве? Допустим, мы взяли $%x’, x»и delta$%, то чтобы дельта подошло к любым выбранным точкам, нужно, чтобы "колебания" функции лежали в конечных пределах.

Нет, этого сказать нельзя. Функция вполне может оказаться и ограниченной (пример $%y=1/x$% был взят в качестве простой иллюстрации). Важен именно факт насчёт "колебаний", когда на маленьких промежутках функция не может изменяться слишком быстро. Скажем, если взять $%sinfrac1x$% на $%(0;1]$%, то там будет наблюдаться такой эффект, но эта функция ограничена. Для дифференцируемых функций всё будет сводиться к вопросу об ограниченности не самой функции, а её производной (скорости изменения).

Читайте также:  Какая температура на солнце в градусах

Т.е. если выполняется условие равномерной непрерывности, можно говорить, что функция изменяется равномерно без резких скачков и уходов на бесконечность на заданном множестве?

@Dragon65: да, приблизительный смысл понятия эта фраза как-то отражает, но если мы начнём уточнять, что это означает, то как раз и придём к стандартному определению на языке "эпсилон-дельта".

Смотрите, я читал еще такие интерпретации: что если мы построим прямоугольник со сторонами $%x’-x»$%,$%f(x’)-f(x»)$%, то его можно перемещать по функции так, что функция никогда не пересечет стороны, параллельные оси $%Ox$%, но за этим, как мне кажется, плохо можно проследить главный смысл.

Также учитель нам говорил, что можно рассмотреть приближения функции ломаными, можете сказать, в каких случаях такими способами удобно, или можно понять?

@Dragon65: если смысл чего-то плохо прослеживается, то и не надо этого делать. Лучше всего опираться на простые, ясные и однозначные вещи.

Что касается приближений ломаными, то для равномерно непрерывных функций проходит такая конструкция. Мы могли бы для любой функции взять несколько точек графика и соединить их ломаными, но тогда не было бы гарантии, что в промежуточных точках точность будет хорошей. А здесь можно для числа $%varepsilon$% задать $%delta=1/n$% и разбить отрезок на $%n$% равных частей. Ломаная при этом будет везде давать приближение с точностью $%varepsilon$%.

Можно говорить о равномерной непрерывности как об общем случае непрерывности в точке?

Просто у меня в голове никак не может сложиться картина; для чего нужна (для чего ввели) именно равномерную непрерывность?

@Dragon65: я не знаю, как ответить на Ваш последний вопрос, потому что мне понятие равномерной непрерывности функции кажется максимально естественных со всех точек зрения. Если мы знаем, что между значениями аргумента разница мала, то мала и разница между значениями функции — это полезное и очень естественное свойство. Как раз переход от него к "локальному" понятию непрерывности в точке гораздо менее тривиален. К этой идее надо было прийти в процессе развития матанализа. А излагается всё в другом порядке.

Помимо равномерной непрерывности, есть ещё понятия равномерной сходимости и т.п.

Ссылка на основную публикацию
Стрим с камеры телефона
На сегодняшний день сервис YouTube прочно закрепился на позициях лидера мирового интернет медиарынка. Всего несколько лет назад вести свой канал...
Смартфоны с флагманской камерой
Мощный, стильный флагманский смартфон — это не только полезный девайс, но и часть имиджа. Конечно, стоит флагман гораздо дороже, чем...
Смартфоны хонор в днс
Нет в наличии Нет в наличии Нет в наличии Нет в наличии Нет в наличии Нет в наличии Нет в...
Строки в pascal abc
Для обработки строковой информации в Турбо Паскаль введен строковый тип данных. Строкой в Паскале называется последовательность из определенного количества символов....
Adblock detector