Суммирование по модулю 2

Суммирование по модулю 2

Важной операцией в информатике является сложение по модулю. Это операция арифметического сложения, при котором единица переноса в старший разряд, если таковая образуется при поразрядном сложении, отбрасывается. Обычно при выполнении этой операции конкретизируют, о каком модуле идет речь, например, по модулю 10, или по модулю 2, или по модулю 16. Обозначается эта операция ⊕.

Таблица сложения двоичных чисел по модулю 2 приведена ниже (обозначения строк и столбцов соответствуют слагаемым):

Пример 7. Сложить по модулю 2 двоичные числа 10 и 11.

Сложение выполним поразрядно:

1) разряд единиц: 0⊕1 = 1;

2) разряд десятков: 1⊕1 = 0.

Таким образом, 102⊕112 = 012. Чтобы подчеркнуть, что в сложении участвовали двухразрядные слагаемые, в результате оставляются обе цифры.

Таблица сложения десятичных чисел по модулю 10 приведена ниже (обозначения строк и столбцов соответствуют слагаемым):

Пример 8. Сложить по модулю 10 десятичные числа 59 и 152.

Сложение выполним поразрядно:

1) разряд единиц: 9⊕2 = 1;

2) разряд десятков: 5⊕5 = 0;

3) разряд сотен: 0⊕1 = 1.

Таким образом, 59⊕152 =101.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10502 — | 7742 — или читать все.

Сложемние по модулю 2 — булевская функция, которая соответствует логическому «исключающему ИЛИ». Это означает, что результат выполнения операции является истинным только при условии, если является истинным в точности один из аргументов. Такая операция естественным образом возникает в кольце вычетов по модулю 2, откуда и происходит название операции.

Сложение по модулю 2 следует отличать от простого сложения, которое соответствует обыкновенному «неисключающему ИЛИ».

В теории множеств сложению по модулю 2 соответствует операция симметричной разности двух множеств.

Запись может быть префиксной ("польская запись") — знак операции ставится перед операндами, инфиксной — знак операции ставится между операндами и постфиксной — знак операции ставится после операндов. При числе операндов более 2-х префиксная и постфиксная записи экономичнее инфиксной записи. Чаще всего встречаются следующие варианты записи:

Булева алгебра

В булевой алгебре сложение по модулю 2 — это функция двух, трёх и более переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества . Результат также принадлежит множеству . Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений может использоваться любая другая пара подходящих символов, например или или «ложь», «истина».

для бинарного сложения по модулю 2

Правило (только для бинарного сложения по модулю 2): результат равен , если оба операнда равны; во всех остальных случаях результат равен .

Элемент ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, «1 и только 1», XOR (Exclusive OR) работает в соответствии с табл. 7.

Таблица истинности элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ

В таблице, единичные значения функции соответствуют строкам, содержащим только одну единицу. Функция сравнительно просто выражается с помощью элементарных логических операций:

Рис. 2.7. Условное обозначение логического элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ а) по ГОСТ и по стандарту МЭК б) по стандарту milspec

Сумма по модулю 2

Элемент СУММА ПО МОДУЛЮ 2 (MOD2) работает в соответствии с табл. 8.

Таблица истинности элемента СУММА ПО МОДУЛЮ 2

Читайте также:  Сушильный шкаф для одежды отзывы

В таблице, единичные значения функции соответствуют строкам, в кото­рых младший разряд арифметической суммы входных переменных равен 1:

Рис. 8. Условное обозначение логического элемента Сумма по модулю 2

Неэквивалентность

Элемент НЕЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ, (НЕРАВНОЗНАЧНОСТЬ) работает в

соответствии с табл. 9.

Таблица истинности элемента НЕЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

В таблице единичные значения функции соответствуют неравенству входных переменных.

Рис. 2.9. Условное обозначение логического элемента НЕЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

Мажоритарность

Мажоритарный элемент имеет много входов. Выходная переменная эле­мента принимает единичное значение, если большая часть её входных пере­менных равна единице. Так, переменная Y на выходе трехвходового мажори­тарного элемента принимает единичное значение, если два или три его входа имеют единичное значение (табл. 11).

Таблица истинности трехвходового мажоритарного элемента

Логическая функция элемента может быть выражена через элементарные логические операции:

Рис. 2.10. Условное обозначение трехвходового мажоритарного элемента

Имея элементы, осуществляющие элементарные операции, можно выполнить любую сложную логическую операцию. Такую систему функций можно назвать полной системой или базисом.

Последовательно исключая из базиса функции, можно получить так называемый минимальный базис. Под минимальным базисом понимают такой набор функций, исключение из которого любой функции превращает полную систему в неполную.

С помощью логических операций И, ИЛИ, НЕ можно выразить любую другую из элементарных функций. Следовательно, эта совокупность логических функций образует базис. Это означает, что любая логическая функция, как бы сложна она ни была, может быть представлена через логические операции И, ИЛИ, НЕ. Иначе, можно построить любое логическое устройство, имея лишь три типа логических элементов, выполняющих операции И, ИЛИ, НЕ.

Базис И, ИЛИ, НЕ не является минимальным. Из этой совокупности функций можно исключить функцию И либо функцию ИЛИ и оставшийся набор будет удовлетворять свойствам базиса. Действительно, если исключить функцию И, то операцию И можно выразить через оставшиеся ИЛИ и НЕ, но это сложно, поэтому на практике используется не минимальный базис, включающий все три функции И, ИЛИ, НЕ.

Используются некоторые другие базисы. При этом выбранный набор логических функций будет удовлетворять свойствам базиса, если с помощью этого набора функций окажется возможным выразить функции И и НЕ (либо функции ИЛИ и НЕ).

Базис образует функция Шеффера (И-НЕ) (рис. 2а). Элементов одного типа, реализующих функцию И-НЕ, достаточно для построения логического устройства произвольной сложности.

Базис образует функция Вебба (ИЛИ-НЕ) (рис. 2б). Используя однотипные элементы, реализующие операцию ИЛИ-НЕ, можно построить логическое устройство произвольной сложности.

В настоящее время базис И, ИЛИ, НЕ обычно используется при начальной стадии проектирования устройств для построения функциональной схемы. Для реализации устройств обычно используются базисы И-НЕ либо ИЛИ-НЕ. Элементы этого базиса широко выпускаются промышленностью в интегральном исполнении.

Логические элементы могут быть выполнены на диодах, транзисторах и в интегральном исполнении. Интегральные логические элементы завоевали в последние годы основные позиции в электронном машиностроении. Интегральное исполнение логических схем обеспечивает высокую плотность размещения элементов, что значительно сокращает размеры, массу модулей, повышает их надежность, быстродействие и т. д.

Наибольшее распространение получили интегральные элементы, построенные на транзисторах и использующие в качестве межкаскадных связей транзисторы (элементы транзисторно-транзисторной логики ТТЛ).

Основная схема элемента приведена на рис. 3. Она состоит из двух последовательно включенных функциональных частиц схемы выполняющей операции И и схемы инвертора. Отличительная особенность построения схемы И в элементах ТТЛ состоит в том, что в ней использован один многоэмиттерный транзистор.

Читайте также:  Решение интегралов методом трапеций

Рис. 3. Схема ТТЛ элемента И-НЕ с простым инвертором.

Многоэмиттерные транзисторы легко реализуются в интегральной технологии и служат основой ТТЛ-элементов. Если на всех входах действует 1, то все переходы эмиттер-база транзистора VТ1 закрыты. Потенциал базы транзистора VТ2 открыт приложенным в прямом направлении напряжением источника +ЕК.

Ток коллекторного перехода транзистора VТ1 проходит через переход эмиттер-базы транзистора VТ2, переводя его в режим насыщения, а на выходе появляется сигнал . Если на одном из выходов появится сигнал , то соответствующий переход эмиттер-база транзистора откроется и его базовый ток перебросится из коллекторной цепи в эмиттерную. В результате транзистор VТ2 закроется и на выходе появится высокий потенциал 1. Таким образом, сигнал может быть на выходе только при сигналах 1 на всех входах, что соответствует операции И-НЕ.

На практике используют ТТЛ-элементы со сложным инвертором, позволяющим увеличивать нагрузочную способность.

На рис. 4а показана схема логического элемента И-НЕ на КМОП-транзисторах с индуцированным каналом. Основные транзисторы VТ1 и VТ2 включены последовательно, транзисторы VТ3 и VT4 играют роль нагрузки.

Рис. 4. Схема КМОП-элемента И-НЕ (а) и схема КМОП-элемента ИЛИ-НЕ (б).

В случае, когда на обоих входах элемента действует высокое напряжение — 1, оба транзистора VТ1 и VТ2 оказываются открытыми и на выходе устанавливается низкое напряжение . Во всех остальных случаях хотя бы один из транзисторов VТ1 или VТ2 закрыт, а на выходе устанавливается сигнал 1. Таким образом, элемент выполняет логическую функцию И-НЕ.

На рис. 4б приведена схема элемента ИЛИ-НЕ КМОП-технологии. В ней транзисторы VТ1 и VТ2 — основные, транзисторы VТ3 и VТ4 -нагрузочные. Пусть на одном из входов этого элемента действует высокое напряжение 1. При этом транзистор VТ2 открыт, транзистор VТ4 -закрыт и независимо от уровня напряжения на другом входе и состояния остальных транзисторов на выходе устанавливается низкое напряжение . Элемент реализует операцию ИЛИ-НЕ.

КМОП-элементы состоят только из МОП-транзисторов, что делает их весьма технологичными, поэтому они широко применяются в больших интегральных схемах (БИС). Напряжение питания КМОП-элементов может быть установлено в пределах от 3 до 15 В. Недостаток КМОП-элементов — сравнительно невысокое быстродействие.

Цифровые микросхемы предназначены для обработки, преобразования и хранения цифровой информации. Выпускаются они сериями. Внутри каждой серии имеются объединенные по функциональному признаку группы устройств, логические элементы, триггеры, счетчики, элементы арифметических устройств и т. д. Микросхемы, входящие в состав каждой серии, имеют единое конструктивно-технологическое исполнение, единое напряжение питания, одинаковые уровни сигналов логического и логической 1. Все это делает микросхемы одной серии совместимыми.

Основой каждой серии является базовый логический элемент. Как правило, базовые логические элементы выполняют операции И — НЕ либо ИЛИ — НЕ и по принципу построения делятся на следующие основные типы: элементы диодно-транзисторной (ДТЛ), резистивно-транзисторной логики (РТЛ), транзисторно-транзисторной логики (ТТЛ), эмиттерно-связанной транзисторной логики (СТЛ), микросхема на так называемых комплиментарных структурах (КМДП или КМОП). Элементы КМДП (КМОП) цифровых микросхем используют пары МДП-транзисторов (со структурой металл-диэлектрик-полупроводник) — с каналами р— и n-типов.

Читайте также:  Смартфоны с мощной камерой рейтинг

В радиолюбительской практике наибольшее распространение получили микросхемы ТТЛ серии К155 и КМДП (КМОП) серии К176 и К561.

Имеется свыше 100 наименований микросхем серии К155. При всех своих преимуществах — высоком быстродействии, обширной номенклатуре, хорошей помехоустойчивости — эти микросхемы обладают большой потребляемой мощностью. Поэтому им на смену выпускают микросхемы серии К555, принципиальное отличие которых — использование транзисторов с коллекторными переходами, зашунтированными диодами Шоттки. В результате транзисторы микросхем серии К555 не входят в насыщение, что существенно уменьшает задержку выключения транзисторов.

Дальнейшее развитие микросхем серий ТЛЛ — разработка микросхем серии КР1533. Основное эксплуатационное отличие их от схем серии К555 — в 1,5 . . . 2 раза меньше потребляемая мощность при сохранении и повышения быстродействия.

Микросхемы ТТЛ рассчитаны на напряжение источника питания 5 В ± 10% . Большая часть микросхем на КМДП структурах работает при напряжении питания 3-15 В, некоторые при напряжении 9 В ± 10%. Уровни логического и 1 должны отличаться возможно больше. Различают пороговое напряжение логической 1 — наименьшее напряжение высокого уровня на входе микросхемы, при котором напряжение на выходе изменяется от уровня логического до уровня логической 1, а также пороговое напряжение логического — наибольшее напряжение низкого уровня на входе микросхемы, при котором напряжение на выходе изменяется от уровня логической 1 до уровня логического .

Для микросхем на КМДП структурах ³ 0,7Uпит , £ 0,3Uпит . В то же время отклонения выходных напряжений и от нулевого значения и напряжения источника питания соответственно достигают всего несколько десятков милливольт.

Способность элемента работать на определенное число входов других элементов без дополнительных устройств согласования характеризуется нагрузочной способностью. Чем выше нагрузочная способность, меньшее число элементов может понадобиться при реализации цифрового устройства. Количественно нагрузочная способность оценивается числом единичных нагрузок, которые можно одновременно подключить к выходу микросхемы. В свою очередь единичной нагрузкой является вход основного логического элемента данной серии. Коэффициент разветвления по выходу для большинства логических элементов ТТЛ составляет 10, а для микросхем серии КМДП — 100.

Динамические параметры базовых элементов оценивают, в первую очередь, быстродействием. Количественно быстродействие можно характеризовать предельной рабочей частотой. Предельная рабочая частота микросхем ТТЛ серии К155 составляет 10 МГц, а микросхем серии К176 и К561 — лишь 1МГц.

Среднее время задержки распространения сигнала является более универсальным параметром микросхем, так как зная его, можно рассчитать быстродействие любой сложной логической схемы суммированием tзд.р.ср. для всех последовательно включенных микросхем. Для микросхем серии К155 tзд.р.ср. составляет около 20 нс, а для микросхем серии К176 — 200 нс.

Потребляемая мощность в статическом режиме оказывается различной при уровнях логического нуля (Р0) и логической единицы (Р1). В связи с этим измеряют среднюю мощность потребления . Статистическая средняя мощность потребления базовых элементов серии К155 составляет несколько десятков милливольт, а у элементов серии К176 и К561 она более чем в тысячу раз меньше. Следовательно, при необходимости построения цифровых устройств с малым потреблением целесообразно использовать микросхемы на КМДП-структурах.

Ссылка на основную публикацию
Стрим с камеры телефона
На сегодняшний день сервис YouTube прочно закрепился на позициях лидера мирового интернет медиарынка. Всего несколько лет назад вести свой канал...
Смартфоны с флагманской камерой
Мощный, стильный флагманский смартфон — это не только полезный девайс, но и часть имиджа. Конечно, стоит флагман гораздо дороже, чем...
Смартфоны хонор в днс
Нет в наличии Нет в наличии Нет в наличии Нет в наличии Нет в наличии Нет в наличии Нет в...
Строки в pascal abc
Для обработки строковой информации в Турбо Паскаль введен строковый тип данных. Строкой в Паскале называется последовательность из определенного количества символов....
Adblock detector