Сообщение о дружественных числах

Сообщение о дружественных числах

Таблица совершенных чисел

Совершенное число Математик, открывший совершенное число Значение p по формуле Евклида Дата открытия Кол-во цифр Место открытия
Др.Греция
Др.Греция
Евклид Др.Греция
Евклид Др.Греция
15 век
Катальди Италия
Катальди Италия
2305843009213693951∙2 60 Иван Михеевич Первушин 1883 г. Пермь
618970019642690137449562111∙2 88 1911 г.
162259276829213363391578010288127∙2 106 1914 г.
2 126 ∙(2 127 -1) 1914г.
2 520 ∙(2 521 -1) Счетная машина 30 янв. 1952г Калифорния
2 606 ∙(2 607 -1) Счетная машина 30 янв.1952г. Калифорния
2 1278 ∙(2 1279 -1) Счетная машина Июнь 1952г. Калифорния
2 2202 ∙(2 2203 -1) Счетная машина Октябрь 1952г. Калифорния
2 2280 ∙(2 2281 -1) Счетная машина Октябрь 1952г. Калифорния
2 3216 ∙(2 3217 -1) Г.Ризель Сентябрь 1957г. Около 2000 Швеция
2 4252 ∙2 4253 -1) 1962г.
2 4422 ∙(2 4423 -1) 1962г.
2 9688 ∙(2 9689 -1) 1965г.
2 9940 ∙(2 9941 -1) 1965г.
2 11212 ∙(2 11213 -10) 1965г.

Таблица дружественных чисел (меньше 100000)

Пара чисел Математик(и), открывший(ие) пару дружественных чисел Дата открытия
220 и 284 Пифагор Около 500 до н.э.
1184 и 1210 Паганини
2620 и 2924 Эйлер
5020 и 5564 Эйлер
6232 и 6368 Эйлер
10744 и 10856 Эйлер
12285 и 14595 Браун
17296 и 18416 Аль-Банна Около 1300
63020 и 76084 Эйлер
66928 и 66992 Эйлер
67095 и 71145 Эйлер
69615 и 87663 Эйлер
79750 и 88730 Рольф

Совершенные и дружественные числа. Числа близнецы.

История открытия дружественных и совершенных чисел великими математиками

Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные и близко связанные с ними дружественные числа.

Числа 1, 2, 3, 4, 5…, использующиеся для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называются натуральными. Из огромного многообразия натуральных чисел ученые выделили дружественные и совершенные числа, обладающие рядом очень интересных свойств.

Дружественные числа – это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. Дружественные числа были открыты последователями Пифагора. По свидетельству античного философа Ямвлиха, великий Пифагор на вопрос, кого считать своим другом, ответил: «Того, кто является моим вторым Я, как числа 220 и 284».

История дружественных чисел теряется в глубине веков. Эти удивительные числа были открыты последователями Пифагора. Правда пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел – 220 и 284. Проверим эту пару чисел на свойство дружественных чисел:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284, 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Для нахождения дружественных чисел арабский ученый Сабит ибн Курра (836-901) предложил хитроумный способ: задавшись натуральным числом n (n>1), подсчитать вспомогательные величины

p = 3 • 2 n – 1 – 1, q = 3 • 2n – 1, r = 9 • 2 2n – 1 – 1

Если окажется, что числа p, q, r простые, тогда числа А = 2 n pq и В = 2 n r – дружественные.
Но эта формула дает только 3 пары дружественных чисел: 220 и 284; 17296 и 184164; 9363584 и 9437056.
Пифагорова пара 220 и 284 получается по этому методу при n = 2. Следующую пару чисел – 17296 и 18416 – обнаружили независимо друг от друга марокканский ученый Ибн-аль-Банна (1256-1321), Фариси и три столетия спустя француз Пьер Ферма. В этом случае n = 4. Третью пару – 9363584 и 9437056 (при n = 7) – указал в 1638 г. Рене Декарт (1596-1650). Но дальнейшие попытки найти n к успеху не приводят. Более того, способ Сабита ибн Курры не выявляет ни одной пары дружественных чисел, если n увеличивать до 20000! Поэтому многие дружественные числа не могут быть получены по этой формуле.
Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Никомах Герасский, знаменитый филосов и математик, писал: « Совершенные числа красивы. Но известно, что вещи редки и немногочисленны, безобразные встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными являются почти все числа, в то время как совершенных чисел немного» Но сколько их, Никомах, живший в первом столетии нашей эры не знал. Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключая само число).
Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число «6». На шестом месте на званном пиру возлежал самый уважаемый, самый почетный гость. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней, ведь более совершенного числа, среди совершенных чисел, чем «6», нет, поскольку оно первое среди них.
Рассмотрим число 6. Число имеет делители 1, 2, 3 и само число 6. Если сложить делители, отличные от самого числа 1 + 2 + 3 то мы получим 6. Значит, число 6 дружественно самому себе и является первым совершенным числом.
Следующим совершенным числом, известным древним, было «28». Мартин Гарднер усматривал в этом числе особый смысл. По его мнению, Луна обновляется за 28 суток, потому что число «28» – совершенное. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала расположены двадцать восемь келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах. До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть. Великий основатель геометрии много занимался изучением свойств числа; конечно, его не могли интересовать совершенные числа. Евклид обнаружил, а Эйлер позднее строго доказал, что всякое число, которое может быть представлено в виде произведения множителей – 1, где – 1 – простое число, – совершенное число. Если в формулу Евклида подставить р = 2, то получим первое совершенное число: , а если подставить в нее р = 3, то получим второе совершенное число:

Читайте также:  Клоп залез в ухо

1 + 2 + 3 = 6 1 + 2 + 4 + 14 = 28

Благодаря своей формуле, Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 (при р = 5) и 8128 (при р = 7). Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершенных числа, и никто не знал, могут ли существовать еще числа, которые можно представить в евклидовской формуле, и никто не мог сказать, возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие формуле Евклида.

Дружественные числа — это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. По свидетельству античного философа Ямвлиха, великий Пифагор на вопрос, кого считать своим другом, ответил: "Того, кто является моим вторым Я, как числа 220 и 284".

История дружественных чисел теряется в глубине веков. Эти удивительные числа были открыты последователями Пифагора. Правда пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284. Проверим эту пару чисел на свойство дружественных чисел:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Долго считалось, что следующую пару дружественных чисел 17296 и 18416 открыл в 1636 году знаменитый французский математик Пьер Ферма. Но недавно в одном из трактатов арабского ученого Ибн аль-Банны (1256-1321) были найдены строки: "Числа 17296 и 18416 являются дружественными. Аллах всеведущ".

А задолго до Ибн аль-Банны другой арабский математик абу-Хасан Сабит ибн Курра (836-901) сформулировал правило, по которому можно получить некоторые дружественные числа:

если для некоторого n числа p=3·2n-1-1, q=3·2n-1 и r=9·22n-1-1 простые, то числа A=2npq и B=2nr — дружественные.

При n=2, числа p=5, q=11, r=71 простые, и получается пара чисел Пифагора: 220 и 284.

Читайте также:  Потерял телефон как восстановить контакты андроид

При n=4, числа p=23, q=47, r=1151 простые, и получается пара чисел Ибн аль-Банны и Ферма 17296 и 18416.

При n=7 получается пара чисел, найденная в 1638 году французским математиком и философом Рене Декартом.

После Декарта первым получил новые дружественные числа Леонард Эйлер. Он открыл 59 пар дружественных чисел, среди которых были и нечетные числа, например, 9773505 и 11791935. Он предложил пять способов отыскания дружественных чисел. Эту работу продолжили математики следующих поколений. В настоящее время известно около 1100 пар дружественных чисел. В 1867 году шестнадцатилетний итальянец Никколо Паганини потряс математический мир сообщением о том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа.

Пару чисел 220 и 284 стали считать символом дружбы. В Средние века имели хождение талисманы с выгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплению любви.

Дружественные числа продолжают скрывать множество тайн. Например, есть ли пары, в которых одно число четное, а другое — нечетное? Конечно или бесконечно число пар дружественных чисел? Существует ли общая формула, позволяющая описать все пары дружественных чисел?

Дружественные числа?! Шутка исследователей? Что за странное название для математического термина? На самом деле, это название дано не с проста.

Дружественные числа — это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и, в свою очередь, сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. Всегда, когда говорят о дружественных числах, то имеют в виду пары числе. Таким образом, эти числа связаны отношениями сходства и поэтому были названы дружественными.

Читайте также:  Как отключить оповещение приложений на андроиде

Впервые дружественные числа упоминаются в работах Пифагора, посвященных теории чисел. Следует отметить, что пифагорейцам была известна лишь одна пара дружественных чисел 220 и 284. Долгое время эта пара чисел была единственным представителем класса дружественных чисел.

В восемнадцатом веке Леонардо Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. К примеру одна из них, 17296 и 18416.

Однако, до сих пор общий способ нахождения пар дружественных чисел не был найден.

В 850 году нашей эры арабский астроном и математик Сабит ибн Курра предложил формулу, с помощью которой можно определить 3 пары дружественных чисел. Формула Сабит ибн Курра выглядит следующим образом:

p = 3 × 2 n-1 — 1,
q = 3 × 2 n — 1,
r = 9 × 2 2n-1 — 1,

, где n > 1 — натуральное число, а p,q,r — простые числа, то:

2 n pq и 2 n r — пара дружественных чисел.

Благодаря этой формуле были найдены пары дружественных чисел 220 и 284, 17296 и 18416 и 9363584 и 9437056 соответственно для n=2,4,7. Но для n больше никаких пар дружественных чисел нет.

Согласно официальным данным, на ноябрь 2006 известно 11 446 960 пар дружественых чисел, которые состоят из двух чётных или двух нечётных чисел. О том существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел науке до сих пор неизвестно. Кроме того, по-прежнему невыясненным остается предположение о существовании взаимно простых дружественных числа. В том случае, если такая пара дружественных чисел все же существует, то их произведение должно быть больше 1067.

Для наглядности приведем все пары дружественных чисел, значение которых меньше 100 000:

  • Пара 220 и 284 открыта Пифагором, около 500 до н. э.
  • Пара 1184 и 1210 открыта Паганини в 1860 году.
  • Пара 2620 и 2924 открыта Эйлером в 1747 году.
  • Пара 5020 и 5564 (Эйлер, 1747г.)
  • Пара 6232 и 6368 (Эйлер, 1750)
  • Пара 10744 и 10856 (Эйлер, 1747)
  • Пара 12285 и 14595 открыта Брауном в 1939 году
  • Пара 17296 и 18416 открыта Аль-Банном, около 1300, Фариси, около 1300 и Пьером Ферма в 1636.
  • Пара 63020 и 76084 (Эйлер, 1747)
  • Пара 66928 и 66992 (Эйлер, 1750)
  • Пара 67095 и 71145 (Эйлер, 1747)
  • Пара 69615 и 87633 (Эйлер, 1747)
  • Пара 79750 и 88730 открыта Рольфом (Rolf) в 1964 году.
Ссылка на основную публикацию
Смартфоны с флагманской камерой
Мощный, стильный флагманский смартфон — это не только полезный девайс, но и часть имиджа. Конечно, стоит флагман гораздо дороже, чем...
Симс 3 постоянно вылетает
Вылеты из игры могут быть обусловлены совершенно различными причинами. Здесь мы рассмотрим лишь те проблемы, которые встречаются у игроков чаще...
Симс фриплей новое обновление
The Sims FreePlay Отправьте любимых персонажей на романтическое свидание или помогите им открыть собственный бизнес в последнем обновлении «Изысканные обеды»!...
Смартфоны хонор в днс
Нет в наличии Нет в наличии Нет в наличии Нет в наличии Нет в наличии Нет в наличии Нет в...
Adblock detector