Квадратный корень из суммы квадратов чисел

Квадратный корень из суммы квадратов чисел

Наверняка в повседневной жизни вы сталкивались с такой ситуацией, что вам требовалось извлечь корень числа или выполнить несколько иных математических действий, чтобы произвести финансовые расчеты, например, при расчете выгодности вклада в банк или насколько подходит ипотечный кредит по условиям, а под рукой на тот момент не оказалось обыкновенного электронного калькулятора или специальной программы? В таком случае для вас незаменимым станет этот удобный и простой в применении онлайн калькулятор корней.

С его помощью вы сможете вводить данные, при этом используя интерфейсные визуальные кнопки либо непосредственно клавиатуру. Кроме этого предоставленный калькулятор онлайн позволить осуществить расчеты сложных выражений, к примеру: (21-45)/(1.5*2)*(8+2*2)=-96.


Необходимо произвести сложные расчеты, а электронного вычислительного устройства под рукой не оказалось? Воспользуйтесь онлайн программой — калькулятором корней. Она поможет:

  • найти квадратные или кубические корни из заданных чисел;
  • выполнить математическое действие с дробными степенями.
Число знаков после запятой:

Что такое квадратный корень

Корень n степени натурального числа a — число, n степень которого равна a (подкоренное число). Обозначается корень символом √. Его называют радикалом.

Каждое математическое действие имеет противодействие: сложение→вычитание, умножение→деление, возведение в степень→извлечение корня.

Квадратным корнем из числа a будет число, квадрат которого равен a. Из этого следует ответ на вопрос, как вычислить корень из числа? Нужно подобрать число, которое во второй степени будет равно значению под корнем.

Обычно 2 не пишут над знаком корня. Поскольку это самая маленькая степень, а соответственно если нет числа, то подразумевается показатель 2. Решаем: чтобы вычислить корень квадратный из 16, нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получиться 16.

Проводим расчеты вручную

Вычисления методом разложения на простые множители выполняется двумя способами, в зависимости от того, какое подкоренное число:

1.Целое, которое можно разложить на квадратные множители и получить точный ответ.

Квадратные числа — числа, из которых можно извлечь корень без остатка. А множители — числа, которые при перемножении дают исходное число.

25, 36, 49 — квадратные числа, поскольку:


Получается, что квадратные множители — множители, которые являются квадратными числами.

Читайте также:  Блог на ютуб с чего начать

Возьмем 784 и извлечем из него корень.

Раскладываем число на квадратные множители. Число 784 кратно 4, значит первый квадратный множитель — 4 x 4 = 16. Делим 784 на 16 получаем 49 — это тоже квадратное число 7 x 7 = 16.
Применим правило

Извлекаем корень из каждого квадратного множителя, умножаем результаты и получаем ответ.

Ответ.

2.Неделимое. Его нельзя разложить на квадратные множители.

Такие примеры встречаются чаще, чем с целыми числами. Их решение не будет точным, другими словами целым. Оно будет дробным и приблизительным. Упростить задачу поможет разложение подкоренного числа на квадратный множитель и число, из которого извлечь квадратный корень нельзя.

Раскладываем число 252 на квадратный и обычный множитель.
Оцениваем значение корня. Для этого подбираем два квадратных числа, которые стоят впереди и сзади подкоренного числа в цифровой линейки. Подкоренное число — 7. Значит ближайшее большее квадратное число будет 8, а меньшее 4.

между 2 и 4.

Оцениваем значение Вероятнее √7 ближе к 2. Подбираем таким образом, чтобы при умножении этого числа на само себя получилось 7.

2,7 x 2,7 = 7,2. Не подходит, так как 7,2>7, берем меньшее 2,6 x 2,6 = 6,76. Оставляем, ведь 6,76

7.

Вычисляем корень

Как вычислить корень из сложного числа? Тоже методом оценивая значения корня.

При делении в столбик получается максимально точный ответ при извлечении корня.

Возьмите лист бумаги и расчертите его так, чтобы вертикальная линия находилась посередине, а горизонтальная была с ее правой стороны и ниже начала.
Разбейте подкоренное число на пары чисел. Десятичные дроби делят так:

— целую часть справа налево;

— число после запятой слева направо.

Пример: 3459842,825694 → 3 45 98 42, 82 56 94

Допускается, что вначале остается непарное число.

Для первого числа (или пары) подбираем наибольшее число n. Его квадрат должен быть меньше или равен значению первого числа (пары чисел).

Извлеките из этого числа корень — √n. Запишите полученный результат сверху справа, а квадрат этого числа — снизу справа.

У нас первая 7. Ближайшее квадратное число — 4. Оно меньше 7, а 4 =

Читайте также:  Почему компьютер пишет что принтер отключен
Вычтите найденный квадрат числа n из первого числа (пары). Результат запишите под 7.

А верхнее число справа удвойте и запишите справа выражение 4_х_=_.

Примечание: числа должны быть одинаковыми.

Подбираем число для выражения с прочерками. Для этого найдите такое число, чтобы полученное произведение не было больше или равнялось текущему числу слева. В нашем случае это 8. Запишите найденное число в верхнем правом углу. Это второе число из искомого корня.

Снесите следующую пару чисел и запишите возле полученной разницы слева.

Вычтите полученное справа произведение из числа слева.

Удваиваем число, которое расположено справа вверху и записываем выражение с прочерками.

Сносим к получившейся разнице еще пару чисел. Если это числа дробной части, то есть расположены за запятой, то и в верхнем правом углу возле последней цифры искомого квадратного корня ставим запятую.

Заполняем прочерки в выражении справа, подбирая число так, чтобы полученное произведение было меньше или равно разницы выражения слева.

Если необходимо большее количества знаков после запятой, то дописывайте возле текущей цифры слева и повторяйте действия: вычитание слева, удваиваем число в верхнем правом углу, записываем выражение прочерками, подбираем множители для него и так далее.

Как думаете сколько времени вы потратите на такие расчеты? Сложно, долго, запутанно. Тогда почему бы не упростить себе задачу? Воспользуйтесь нашей программой, которая поможет произвести быстрые и точные расчеты.

1. Введите желаемое количество знаков после запятой.

2. Укажите степень корня (если он больше 2).

3. Введите число, из которого планируете извлечь корень.

Вспомним, что такое арифметический квадратный корень.

Уравнение имеет два решения: и .

Это числа, квадрат которых равен .

А как решить уравнение ?

Если мы нарисуем график функции , то увидим, что и у этого уравнения есть два решения, одно из которых положительно, а другое отрицательно.

Но эти решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того чтобы записать эти решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Читайте также:  При сильных морозах для восстановления гладкости льда

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Запомните это определение.

Арифметический квадратный корень обозначается .

Приведем несколько примеров.

Еще раз повторим определение: Арифметический квадратный корень из числа a — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a

Это значит, что (это наши первые два примера). Очевидно,

А с третьим примером интереснее: поскольку по определению.

1) В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение для нас сейчас имеет смысл только при

2) Выражение всегда неотрицательно, т. е. Например,

Свойства арифметического квадратного корня:

Запомним: выражения и не равны друг другу.Легко проверить.

, верно? Как вы думаете, чему в общем случае равен

На этот вопрос мы ответим немного позже. А сейчас решим несколько задач из вариантов Профильного ЕГЭ по математике.

1. Найдите значение выражения

Обратите внимание: не равен

2. Найдите значение выражения

Применили формулу разности квадратов:

Применили формулу квадрата суммы.

4. Найдите значение выражения при

Иногда — например, при решении неравенств — надо сравнить два выражения, содержащих знак корня.

5. Что больше: или ?

Никаких приближенных вычислений!

Напомним еще раз, что , так что «убирать» корни мы не можем.

График функции

Построим график функции Возьмем несколько значений аргумента x, причем таких, что квадратный корень из них является целым числом.

1 4 9 16 25
1 2 3 4 5

Область определения функции:

Область значений функции:

Вот как выглядит график функции

Нарисуем в одной системе координат графики функций и при

Что же мы видим? При графики функций и симметричны относительно прямой

То, что для функции является областью определения, для функции — область значений (при неотрицательных x).

Такие функции называют взаимно-обратными.

Корень из квадрата:

Если вы внимательно читаете эту статью, то помните, что один вопрос остался без ответа. Чему равен ?

Здесь a — некоторое число или выражение. По определению арифметического квадратного корня, — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен Оно равно a при и равно -a при Узнаете определение модуля? Запомним:

Ссылка на основную публикацию
Капельная кофеварка или турка
Технологические новинки серьезно упрощают наш быт, но не всегда новое означает лучшее. Поэтому и не утихает спор среди настоящих гурманов...
Какие провода отвечают за монитор
Не включается монитор на компьютере? Из- за чего? давайте разбираться. Сразу хочу сказать, что причин этому немало. Давайте я распишу...
Какие программы можно написать на python
Переводы, 22 мая 2018 в 16:10 Никита Прияцелюк Писать на Python, используя IDLE или Python Shell, вполне удобно, если речь...
Кар плей айфон что это
CarPlay — это умный и более безопасный способ пользоваться возможностями iPhone за рулём автомобиля. Теперь у CarPlay совершенно новая панель...
Adblock detector