Элементы множества целых чисел

Элементы множества целых чисел

Множество натуральных чисел

Множество натуральных чисел образуют числа 1, 2, 3, 4, . используемые для счёта предметов. Множество всех натуральных чисел принято обозначать буквой N :

Это бесконечное множество, оно имеет наименьший элемент 1 и не имеет наибольшего элемента. Иногда к натуральным числам добавляют 0, тогда он будет наименьшим элементом.

Законы сложения натуральных чисел

1. Для любых натуральных чисел a и b верно равенство a + b = b + a . Это свойство называют переместительным (коммутативным) законом сложения.

2. Для любых натуральных чисел a, b, c верно равенство (a + b) + c = a + (b + c) . Это свойство называют сочетальным (ассоциативным) законом сложения.

Законы умножения натуральных чисел

3. Для любых натуральных чисел a и b верно равенство ab = ba . Это свойство называют переместительным (коммутативным) законом умножения.

4. Для любых натуральных чисел a, b, c верно равенство (ab)c = a(bc) . Это свойство называют сочетальным (ассоциативным) законом умножения.

5. При любых значениях a, b, c верно равенство (a + b)c = ac + bc . Это свойство называют распределительным (дистрибутивным) законом умножения (относительно сложения).

6. При любых значениях a верно равенство a*1 = a . Это свойство называют законом об умножении на единицу.

Результатом сложения или умножения двух натуральных чисел всегда является натуральное число. Или, говоря иначе, эти операции можно выполнить, оставаясь во множестве натуральных чисел. Относительно вычитания и деления этого сказать нельзя: так, из числа 3 нельзя, оставаясь во множестве натуральных чисел, вычесть число 7; число 15 нельзя разделить на 4 нацело.

Признаки делимости натуральных чисел

Делимость суммы. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Делимость произведения. Если в произведении хотя бы один из сомножителей делится нацело на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Эти условия, как для суммы, так и для произведения, являются достаточными, но не необходимыми. Например, произведение 12*18 делится на 36, хотя ни 12, ни 18 на 36 не делятся.

Признак делимости на 2. Для того, чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра была чётной.

Признак делимости на 5. Для того, чтобы натуральное число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра была либо 0, либо 5.

Признак делимости на 10. Для того, чтобы натуральное число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0.

Признак делимости на 4. Для того, чтобы натуральное число, содержащее не менее трёх цифр, делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы последние цифры были 00, 04, 08 или двузначное число, образованное последними двумя цифрами данного числа, делилось на 4.

Признак делимости на 2 (на 9). Для того, чтобы натуральное число делилось на 3 (на 9), необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3 (на 9).

Множество целых чисел

Рассмотрим числовую прямую с началом отсчёта в точке O. Координатой числа нуль на ней будет точка O. Числа, расположенные на числовой прямой в заданном направлении, называют положительными числами. Пусть на числовой прямой задана точка A с координатой 3. Она соответствует положительному числу 3. Отложим теперь три раза единичный отрезок от точки O, в направлении, противоположном заданному. Тогда получим точку A’, симметричную точке A относительно начала координат O. Координатой точки A’ будет число — 3. Это число, противоположное числу 3. Числа, расположенные на числовой прямой в направлении, противоположном заданному, называют отрицательными числами.

Числа, противоположные натуральным, образуют множество чисел N’:

Если объединить множества N, N’ и одноэлементное множество , то получим множество Z всех целых чисел:

Для целых чисел верны все перечисленные выше законы сложения и умножения, которые верны для натуральных чисел. Кроме того, добавляются следующие законы вычитания:

Множество рациональных чисел

Чтобы сделать выполнимой операцию деления целых чисел на любое число, не равное нулю, вводятся дроби:

, где a и b — целые числа и b не равно нулю.

Если к множеству целых чисел присоединить множество всех положительных и отрицательных дробей, то получается множество рациональных чисел Q:

.

При этом каждое целое число является также рациональным числом, так как, например, число 5 может быть представлено в виде , где числитель и знаменатель — целые числа. Это бывает важно при операциях над рациональными числами, из которых одно может быть целым числом.

Законы арифметических действий над рациональными числами

Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной:

.

Это свойство используется при сокращении дробей.

Сложение дробей. Сложение обыкновенных дробей определяется следующим образом:

.

То есть, для сложения дробей с разными знаменателями дроби приводятся к общему знаменателю. На практике при сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями дроби приводятся к наименьшему общему знаменателю. Например, так:

Читайте также:  Обогреватели типы и виды

.

Для сложения дробей с одинаковыми числителями достаточно сложить числители, а знаменатель оставить прежним.

Умножение дробей. Умножение обыкновенных дробей определяется следующим образом:

.

То есть, для умножения дроби на дробь нужно числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и записать произведение в числитель новой дроби, а знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и записать произведение в знаменатель новой дроби.

Деление дробей. Деление обыкновенных дробей определяется следующим образом:

.

То есть, для деления дроби на дробь нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и произведение записать в числитель новой дроби, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй дроби и произведение записать в знаменатель новой дроби.

Возведение дроби в степень с натуральным показателем. Эта операция определяется следующим образом:

.

То есть, для возведения дроби в степень числитель возводится в эту степень и знаменатель возводится в эту степень.

Периодические десятичные дроби

Теорема. Любое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической дроби.

.

Последовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в десятичной записи числа называется периодом, а конечная или бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической.

При этом любую конечную десятичную дробь считают бесконечной периодической дробью с нулём в периоде, например:

Результат сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль) двух рациональных чисел — также рациональное число.

Множество действительных чисел

На числовой прямой, которую мы рассмотрели в связи с множеством целых чисел, могут быть точки, не имеющие координат в виде рационального числа. Так, не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Следовательно, число не является рациональным числом. Так же не существует рациональных чисел, квадраты которых равны 5, 7, 9. Следовательно, иррациональными являются числа , , . Иррациональным является и число .

Никакое иррациональное число не может быть представлено в виде периодической дроби. Их представляют в виде непериодических дробей.

Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел представляет собой множество действительных чисел R .

Аксиомы о действиях над действительными числами

Аксиомы сложения. Для любых a, b, c из множества R действительных чисел справедливы следующие свойства:

IV. Для любого aR существует такое число bR , что a + b = 0 . Это число b называется противоположным числу a и обозначается — a.

Аксиома IV позволяет ввести операцию вычитания в множестве действительных чисел: под разностью ab понимается сумма a + (- b) .

Аксиомы умножения. Для любых a, b, c из множества R действительных чисел справедливы следующие свойства:

VIII. Для любого отличного от нуля числа aR существует такое число bR , что ab = 1 . Это число b называется обратным числу a и обозначается .

Аксиома VIII позволяет ввести операцию деления в множестве действительных чисел: под понимается произведение , где b ≠ 0 .

Аксиома Архимеда. Для любых положительных действительных чисел a и b существует такое натуральное число n, что na > b .

Множество комплексных чисел

Комплексные числа вводятся в связи с тем, что действительных чисел недостаточно, чтобы решить любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами. Простейшее из квадратных уравнений, не имеющих корней среди действительных чисел, есть

Решение будет следующим: = — 1 , x =√-1 ,

здесь √-1 — квадратный корень из минус единицы — мнимая единица, обозначаемая буквой i .

Комплексные числа и операции над ними обладают таким количеством замечательных свойств, что они рассмотрены в отдельных материалах нашего сайта:

Множество – совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита – от A до Z.

Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:

N – множество натуральных чисел

Z – множество целых чисел

Элемент множества – это любой объект, входящий в состав множества. Принадлежность объекта к множеству обозначается с помощью знака ∈ . Запись

читается так: 5 принадлежит множеству Z или 5 – элемент множества Z .

Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество – множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество – множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.

Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись

означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.

Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми.

Подмножество

Подмножество – это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.

Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера. Круги Эйлера – это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае, множеств.

Читайте также:  Что будет если заряжать айфон неоригинальной зарядкой

Рассмотрим два множества:

Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M, значит, множество L является подмножеством множества M. Такое соотношение множеств обозначают знаком ⊂ :

Запись LM читается так: множество L является подмножеством множества M .

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, независимо от их порядка, называются равными и обозначаются знаком = .

Рассмотрим два множества:

Так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M.

Пересечение и объединение множеств

Пересечение двух множеств – это совокупность элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, то есть их общая часть. Пересечение обозначается знаком ∩ .

Запись LM читается так: пересечение множеств L и M .

Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах.

Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы исходных множеств в единственном экземпляре, то есть если один и тот же элемент встречается в обоих множествах, то в новое множество этот элемент будет включён только один раз. Объединение обозначается знаком ∪ .

Запись LM читается так: объединение множеств L и M .

При объединении равных множеств объединение будет равно любому из данных множеств:

Математическое понятие множества элементов принимается в качестве интуитивного. Множество задается правилом или признаком, согласно которому определяем, принадлежит ли данный элемент множеству или не принадлежит.

Множество обозначают символом A = <x>, где x — общее наименование элементов множества A. Часто множество записывают в виде A = <a, b,c, . >, где в фигурных скобках указаны элементы множества A. Будем пользоваться обозначениями:

N — множество всех натуральных чисел;
Z — множество всех целых чисел;
Q — множество всех рациональных чисел;
R — множество всех действительных чисел;
C — множество всех комплексных чисел;
Z — множество всех неотрицательных целых чисел.

Запись (или ) означает, что элемент a принадлежит множеству A.

Запись (или ) означает, что элемент a не принадлежит множеству A.

2. Множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел. Порядок арифметических действий над такими числами. Свойства дробей

1. Натуральные числа − числа, используемые при счете (перечислении) предметов:
N =

2. Натуральные числа с включенным нулем − числа, используемые для обозначения количества предметов:
N =

3. Целые числа − включают в себя натуральные числа, числа противоположные натуральным(т.е. с отрицательным знаком) и ноль.
Целые положительные числа:
Z + = N = <1, 2, 3, . >
Целые отрицательные числа:
Z − = <. −3, −2, −1>
Z = Z − ∪ <0>∪ Z + =

4. Рациональные числа − числа, представляемые в виде обыкновенной дроби a/b, где a и b − целые числа и b ≠ 0.
Q = <x | x = a/b, aZ, bZ, b ≠ 0>
При переводе в десятичную дробь рациональное число представляется конечной или бесконечной периодической дробью.

5. Действительные (вещественные) числа − объединение рациональных и иррациональных чисел: R

К арифметическим или рациональным действиям над числами относят
сложение ,
вычитание ,
умножение ,
деление (или ).

Только два из этих действий — сложение и умножение — определены на множестве натуральных чисел .

Действительно, деление и вычитание не всегда возможны на множестве .
Например,
Разностью двух натуральных чисел и является , а это число не натуральное!
Скоро вы узнаете, что является целым числом.

Частным двух натуральных чисел и является , а это число не натуральное!
Скоро вы узнаете, что является рациональным числом.

операции вычитания и деления НЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ на множестве , но это вовсе не значит, что вычитать и делить натуральные числа нельзя.

( — число не натуральное).
НО ( — число натуральное).
Т.е. каждый раз мы с тобой брали разность и иногда выходили за пределы множества натуральных чисел (в примере выше мы получили целое число).

Определенной операцией называют операцию на некотором множестве, если ее выполнение НИКОГДА не выведет нас за пределы данного множества.

Так, сложение и умножение двух натуральных чисел ВСЕГДА будет числом натуральным, сколько бы раз мы эти операции не выполняли (в какой бы последовательности мы их не комбинировали).

Из натуральных чисел с помощью знаков арифметических действий и скобок составляют числовые выражения. Порядок выполнения арифметических действий в числовом выражении следующий:
вначале выполняют действия в скобках;
внутри любых скобок или в выражении без скобок сначала действия умножения и деления;
потом сложения и вычитания.

Например, если нужно найти значение выражения
,
то порядок выполнения арифметических действий такой:
1) Умножил на , получил
2) Подсчитал разность и , получил
3) Значение этой разности ( ) умножил на и получил
4) Сложил сумму, полученную в пункте 1) с произведением, полученным в пункте 3), т.е.
5) Нашел результат деления на . Получил .
6) Сложил результаты пунктов 5) и 4), получил .

Читайте также:  Мощность робота пылесоса для дома

3. Числовая ось. Иррациональные, алгебраические и трансцендентные числа.

Числовая ось, или числовая прямая — это прямая, на которой выбраны:

  • некоторая точка O — начало отсчёта;
  • положительное направление, указанное стрелкой;
  • масштаб для измерения длин.

Между вещественными числами и числовой осью устанавливаетсявзаимно однозначное соответствие: начало координат соответствуетнулю, числовое значение произвольной точки соответствуетрасстоянию её до начала координат — в положительном направлении со знаком плюс, иначе — со знаком минус. [1] Таким образом, числовая ось состоит из точки начала координат и двух расходящихся от неё лучей, один из которых соответствуетположительным, а другой — отрицательным числам. Естественный порядок точек на прямой при таком соответствии согласуется с упорядоченностью чисел.

Иррациональные числа − числа, которые представляются в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Алгебраи́ческое число́ над полем — элемент алгебраического замыкания поля , то есть корень многочлена (не равного тождественно нулю) с коэффициентами из .

Трансценде́нтное число́ (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами (не равного тождественно нулю).

4. Простейшие понятия исчисления высказываний и предикатов. Необходимые и достаточные условия.

Предика́т (лат. praedicatum — заявленное, упомянутое, сказанное) — это то, что утверждается о субъекте. Субъектомвысказывания называется то, о чём делается утверждение.

Предикат в программировании — функция, принимающая один или более аргументов и возвращающая значения булева типа.

Далее в этой статье слово предикат используется в значениивысказывательной формы.

5. Общее определения функций (отображений) функционалов, числовых последовательностей. Классификация отображений (однозначные, многозначные, биективные, сюрьективные, инъективные отображения).

Функциона́л — это отображение, заданное на произвольном множестве и имеющее числовую область значений: обычно множество вещественных чисел иликомплексных чисел

Область определения функционала может быть любым множеством. Если область определения является топологическим пространством, можно определитьнепрерывный функционал; если область определения является линейным пространством над или над , можно определить линейный функционал; если область определения является упорядоченным множеством, можно определить монотонный функционал.

Функционал, заданный на топологическом пространстве , называется непрерывным, если он непрерывен как отображение в топологическое пространство или .

Функционал, заданный на топологическом пространстве , называется непрерывным в точке , если он непрерывен в этой точке как отображение в топологическое пространство или .

В более широком смысле функционалом называется любое отображение из произвольного множества в произвольное (не обязательно числовое) кольцо.

Функционал, заданный на линейном пространстве, и сохраняющий сложение и умножение на константу, называется линейным функционалом. (Отображение линейного пространства в линейное пространство называют оператором).

Пожалуй, самый простой функционал — проекция — (сопоставление вектору одной из его компонент или координат).

Довольно часто в роли линейного пространства выступает то или иное пространство функций (непрерывные функции на отрезке, интегрируемые функции на плоскости и т.д.). Поэтому в прикладных областях под функционалом часто понимают функцию от функций, отображение, переводящее функцию в число (действительное или комплексное).

Функционал на линейном пространстве называется положительно определённым, если его значение неотрицательно и равно нулю только в нуле.

Отображение, переводящее вектор в его норму, является выпуклым положительно определённым функционалом, это один из самых распространённых функционалов. В физике часто используется действие — тоже функционал.

Задачи оптимизации формулируются на языке функционалов: найти решение (уравнения, системы уравнений, системы ограничений, системы неравенств, системы включений и т. п.), доставляющее экстремум (минимум или максимум) заданному функционалу. Функционалы также рассматриваются в вариационном анализе.

6. Определение элементарных функций, их свойства, графики.

математическое понятие, отражающее связь между элементамимножеств. Другими словами, функция — это правило, по которому каждому элементу одного множества (называемогообластью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной однозначно определяет значение выражения , а значение месяцаоднозначно определяет значение следующего за ним месяца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представляются на рисунках в виде графиков.

7. Алгебраические операции и их классификация. Множество комплексных чисел, их геометрическая интерпретация. Операция над комплексными числами

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9961 — | 7573 — или читать все.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector