Формула тейлора с остатком в форме пеано

Формула тейлора с остатком в форме пеано

Формулировка:

Если существует , то представима в следующем виде:

Это выражение называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (или локальной формулой Тейлора)

Доказательство:

Для начала докажем Лемму

Пусть функции определены в окрестности точки и удовлетворяют следующим условиям:

Тогда существует точка , принадлежащая интервалу с концами и такая, что

Пусть, например, . Тогда применяя к функциям и на отрезке теорему Коши и учитывая, что по условию, получаем

Аналогично, применяя к функциям и на отрезке теорему Коши, находим

Из этих двух равенств следует, что

Применяя теорему Коши последовательно к функциям и , и ,…, и на соответствующих отрезках получаем

Равенство доказано для случая, когда , аналогично рассматривается случай, когда .

Теперь, когда лемма доказана, приступим к доказательству самой теоремы:

Из существования следует, что функция определена и имеет производные до порядка включительно в окрестности точки

Функции и удовлетворяют условиям леммы, если заменить номер на

Используя ранее доказанную лемму и учитывая, что получаем

Пусть , тогда из неравенств следует, что , и в силу существования существует

Так как выполняются равенства

Таким образом, правая часть формулы имеет при предел, равный нулю, а поэтому существует предел левой части этой формулы, так же равный нулю. Это означает, что , то есть , что и требовалось доказать.

Пример:

Разложить функцию в окрестности точки по Тейлору с остатком в форме Пеано.

Табличное разложение косинуса имеет следующий вид:

Представим функцию в виде:

Заменим в табличном разложении на и подставим представление косинуса.Получим

Источники:

  1. Конспект по курсу математического анализа Лысенко З.М.
  2. Тер-Крикоровв А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа -М.:ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.-672 с. гл. IV §18 с. 161.

Пусть функция $f$ определена на интервале $(a, b)$. Предположим, что в каждой точке $x in left(a,b
ight)$ у функции $f$ существует производная $f^<prime>left(x
ight)$. Если функция $f^prime$ в некоторой точке $x_ <0>in left(a, b
ight)$ имеет производную, то ее называют второй производной функции $f$ в точке $x_<0>$ и обозначают $f^<prime prime>left(x_0
ight)$. По индукции определяются и производные высших порядков. Именно, $f^<left(k
ight)>left(x
ight)=f^<left(k-1
ight)^<prime>>left(x
ight)$

Определение: Для $k in mathbb $ и отрезка $left[a, b
ight]$ через $C^left(left[a, b
ight]
ight)$ обозначается совокупность всех функций $f$, определенных на $left[a, b
ight]$ и таких, что $k$-я производная $f^<left(k
ight)>$ непрерывна на $left[a, b
ight]$. При этом в точках $a$ и $b$ производные понимаются как односторонние.

Напомним определение дифференцируемости. Дифференцируемой в точке $x_<0>$ мы называли такую функцию $f$, что в окрестности точки $x_<0>$ она представима в виде
$$fleft(x
ight) = f left(x_0
ight) + f^<prime>left(x_0
ight)left(x − x_<0>
ight) + left(x o x_<0>
ight) arleft(left(x − x_<0>
ight)^n
ight) left(x o x_<0>
ight) $$
т.е. $fleft(x
ight) = P_<1>left(x
ight) + ar
left(x − x_<0>
ight)$, где $P_<1>left(x
ight)$ – многочлен первого порядка, а остаток $ar
left(x − x_<0>
ight)$ мал по порядку по сравнению с $x − x_<0>$.

Читайте также:  Объединение двух жестких дисков в один

Поставим следующую задачу. Пусть функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $x_<0>$. Можно ли функцию $f$ в этой окрестности представить в виде суммы многочлена $P_left(x
ight)$ степени не выше заданного натурального $n$, и остатка $r_
left(x
ight)$, малого по сравнению с $left(x − x_<0>
ight)^n$, т.е. $r_
left(x
ight) = arleft(left(x − x_<0>
ight)^

ight)left(x o x_<0>
ight)$? Другими словами, мы хотим, чтобы имело место равенство
$$fleft(x
ight) = P_
left(x
ight) + arleft(left(x − x_<0>
ight)^n
ight)left(x o x_<0>
ight).$$
При $n = 1$ это возможно, если функция $f$ дифференцируема в точке $x_<0>$. Это сразу следует из определения дифференцируемости.

Лемма: Пусть функция $ varphi $ определена на интервале $I$ и всюду на этом интервале имеет производную до порядка $n − 1$ включительно, а в точке $x_ <0>in I$ имеет производную $ varphi^<left(n
ight)>left(x_<0>
ight)$, причем $$ varphileft(x_<0>
ight) = varphi^<prime>left(x_<0>
ight)=ldots=varphi^<left(n
ight)>left(x_<0>
ight) = 0.$$ Тогда $ varphileft(x
ight) = arleft(left(x − x_<0>
ight)^
ight)left(x o x_<0>
ight)$

Применим индукцию по $n$. При $n = 1$ из дифференцируемости $varphi$ в точке $x_ <0>in I$ получаем $$ varphileft(x
ight) = varphi left(x_<0>
ight) + varphi^<prime>left(x_<0>
ight)left(x − x_<0>
ight) + arleft(x − x_<0>
ight),$$ а из условия леммы $ varphileft(x_<0>
ight) = varphi^<prime>left(x_<0>
ight) = 0 $ следует, что $varphi left(x
ight) = ar
left(x − x_<0>
ight).$
Предположим, что лемма верна для некоторого натурального $n$, и покажем, что она справедлива и для $n + 1$. Итак, согласно предположению индукции, $varphileft(x
ight) = underset<left(x o x_<0>
ight)><ar
left(left(x − x_<0>
ight)^n
ight)>$ и $varphi^ <left(n+1
ight)>left(x_<0>
ight) = 0$. Тогда, по теореме Лагранжа, $varphileft(x
ight) − varphi left(x_<0>
ight) = varphi^<prime>left(xi
ight)left(x − x_<0>
ight)$, где точка $xi$ находится между $x$ и $x_<0>$. Обозначим $psi left(x
ight) = varphi^<prime>left(x
ight)$. Тогда, по предположению индукции, $ psileft(x_<0>
ight) = psi^<prime>left(x_<0>
ight)=ldots=psi^<left(n
ight)>left(x_<0>
ight) = 0$ и $psi^<left(n
ight)>left(x
ight)=underset<left(x o x_<0>
ight)><ar
left(left(x− x_<0>
ight)^n
ight)>$. Поэтому $$ frac<lvert varphileft(x
ight)
vert> <lvert x-x_<0>
vert ^> = frac <lvert varphi ^<prime>left(xi
ight)
vert> <lvert x-x_<0>
vert ^> leqslant frac<lvert psi left(xi
ight)
vert> <lvert xi-x_<0>
vert ^
> o 0 mbox < при >x o x_<0>. $$ Это следует из предположения индукции и из того, что $xi $ находится между $x$ и $x_<0>$. Таким образом, получили, что $varphileft(x
ight) = ar
left(left(x − x_<0>
ight)^
ight)$.

Вернемся к нашей задаче представления функции $f$ в виде $$fleft(x
ight) = P_left(x
ight)+arleft(left(x-x_<0>
ight)^n
ight).$$ Из доказанной леммы сразу следует, что если мы найдем многочлен $P_
left(x
ight)$, такой, что $P_
left(x_<0>
ight) = fleft(x_<0>
ight)$, $P_
^<prime>left(x_<0>
ight) = f^<prime>left(x_<0>
ight)$, $ldots$, $P_
^<left(n
ight)>left(x_<0>
ight) = f^<left(n
ight)>left(x_<0>
ight)$, то функция $varphileft(x
ight) = fleft(x
ight) − P_
left(x
ight)$ будет удовлетворять условиям $varphileft(x_<0>
ight) =varphi^<prime>left(x_<0>
ight) = ldots = varphi^<left(n
ight)>left(x_<0>
ight) = 0$, и, в силу леммы, $varphileft(x
ight) = ar left(left(x − x_<0>
ight)^n
ight)$, т.е. наша задача будет решена, если мы найдем многочлен $P_
left(x
ight)$.

Читайте также:  Живые обои на айфон 10 высокого качества

Многочлен $P_left(x
ight)$ будем искать в виде $$P_
left(x
ight) = c_0 + c_<1>left(x-x_<0>
ight) + ldots + c_
left(x-x_<0>
ight)^n,$$ т.е. по степеням $x − x_<0>$, где $c_0, c_1, ldots, c_n$ – коэффициенты. Найдем производные многочлена $P_n$. Имеем

$ P_n left(x_0
ight) = c_0, <> \ <> P_n^<prime>left(x
ight) = c_1 + 2 cdot c_2 left(x-x_0
ight)+ldots+ncdot c_nleft(x- x_0
ight)^, <> \ <> P_n^<prime>left(x_0
ight) = c_1, <> \ <> P_n^<prime prime>left(x
ight) = 2cdot c_2 + 3cdot2cdot c_3left(x-x_0
ight)+ldots+n cdot left(n-1
ight)cdot c_nleft(x-x_0
ight)^, <> \ <> P_n^<prime prime>left(x_0
ight)=2c_2, <> \ <> cdots <> \ <> P_n^<left(k
ight)>left(x
ight) = kcdotleft(k-1
ight)cdot ldots cdot 2 cdot 1cdot c_k + left(k+1
ight) cdotldots cdot2 cdot 1cdot c_left(x-x_0
ight)+ldots +<> \ <>+ ncdotleft(n-1
ight)cdotldotscdot left(n-k+1
ight)cdot c_nleft(x-x_0
ight)^, <> \ <> cdots \ <> P_n^<left(k
ight)>left(x_0
ight) = k!cdot c_k left(k=0,1,ldots,n
ight).$

Таким образом, $P_n^<left(k
ight)>left(x_0
ight) = k!cdot c_k$, откуда $c_k = frac<displaystyle P_n^<left(k
ight)>left(x_0
ight)><displaystyle k!>$. Итак, если мы хотим, чтобы при всех $k=0,1,ldots,n$ были выполнены равенства $f^<left(k
ight)>left(x_0
ight)=P_n^<left(k
ight)>left(x_0
ight)$, то коэффициенты $c_k$ многочлена $P_nleft(x
ight)$ должны быть равными $c_k = frac <displaystyle f^<left(k
ight)>left(x_0
ight)> <displaystyle k!>left(k = 0,1,ldots,n
ight)$, т.е. $$P_nleft(x
ight) = fleft(x_0
ight) + frac left(x_0
ight)><1!>left(x-x_0
ight) + ldots + frac left(x_0
ight)>left(x-x_0
ight)^n.$$ В этом случае функция $varphi left(x
ight) = fleft(x
ight) — P_nleft(x
ight)$ удовлетворяет условиям леммы и, следовательно, $varphi left(x
ight) = arleft(left(x-x_0
ight)^n
ight)$, т.е. мы получим нужное представление $$ fleft(x
ight) = P_nleft(x
ight) + ar
left(left(x-x_0
ight)^n
ight).$$

Итак, мы доказали следующую теорему.

Доказанное в этой теореме равенство называется формулой Тейлора с остатком в форме Пеано. Многочлен $$ P_nleft(x
ight) = fleft(x_0
ight)+frac left(x_0
ight)><1!>left(x-x_0
ight) + frac left(x_0
ight)><2!>left(x-x_0
ight)^2 + ldots +<> \ <>+ frac left(x_0
ight)>left(x-x_0
ight)^n $$ называется многочленом Тейлора функции $f$ с центром в точке $x_0$, а последнее слагаемое в формуле Тейлора $arleft(left(x − x_0
ight)^n
ight)$ — остатком формулы Тейлора в форме Пеано.

Докажем единственность многочлена Тейлора. Предположим, что существует два представления – $fleft(x
ight) = P_nleft(x
ight) + arleft(left(x-x_0
ight)^n
ight)$ и $fleft(x
ight) = Q_nleft(x
ight) + ar
left(left(x-x_0
ight)^n
ight)$, где $P_n$ и $Q_n$ – многочлены степени не выше, чем $n$. Покажем, что $P_n equiv Q_n$, т.е. коэффициенты многочленов $P_n$ и $Q_n$ совпадают. Имеем $P_nleft(x
ight)-Q_nleft(x
ight) = ar
left(left(x-x_0
ight)^n
ight)$, т.е. $R_nleft(x
ight) equiv P_nleft(x
ight)-Q_nleft(x
ight) = ar
left(left(x-x_0
ight)^n
ight)$, где степень $R_n$ не превосходит $n$. Покажем, что все коэффициенты $b_k$ многочлена $R_nleft(x
ight) equiv b_0 + b_1 left(x-x_0
ight) + ldots +b_nleft(x-x_0
ight)^n$ равны нулю. Из равенства $$b_0 + b_1 left(x-x_0
ight) + ldots +b_nleft(x-x_0
ight)^n = ar
left(left(x-x_0
ight)^n
ight),$$ устремляя $x o x_0$ и учитывая, что правая часть стремится к нулю, получаем, что $b_0 = 0$. Следовательно, $$b_1 left(x-x_0
ight) + ldots +b_nleft(x-x_0
ight)^n = ar
left(left(x-x_0
ight)^n
ight).$$ Разделив это равенство на $x − x_0$, получим $$ b_1 + b_2 left(x-x_0
ight) + ldots +b_nleft(x-x_0
ight)^ = ar
left(left(x-x_0
ight)^
ight),$$ откуда, устремляя $x o x_0$, получим, что $b_1 = 0$. Продолжая этот процесс, получим, что $b_0 = b_1 = ldots = b_n = 0$, т.е. $R_n = 0$, что и требовалось.

Читайте также:  Корневой концентратор intel r usb 3 0

Замечание: Если функция $f$ является многочленом степени $n$, то она совпадает со своим многочленом Тейлора порядка $n$ и выше. В самом деле, если $fleft(x
ight) = P_nleft(x
ight)$, то для $n leqslant m$ будем иметь $$fleft(x
ight) = P_nleft(x
ight) = P_mleft(x
ight) + 0 = P_mleft(x
ight) + r_mleft(x
ight),$$ где $r_mleft(x
ight) = 0 = arleft(left(x-x_0
ight)^m
ight) left(x o x_<0>
ight)$. Значит, в силу единственности многочлена Тейлора, $P_mleft(x
ight) equiv P_nleft(x
ight)$ – многочлен Тейлора.

Примеры решения задач

  1. Пусть $fleft(x
    ight) = x^2 − 3x + 1$. Требуется построить формулу Тейлора для функции $f$ порядка $n = 2$ в окрестности точки $x_0 = 1$.
    Решение

Можно было бы вычислить $fleft(1
ight), f^<prime>left(1
ight), f^<prime prime>left(1
ight)$ и построить многочлен Тейлора согласно общей формуле $$ P_2left(x
ight) = fleft(1
ight) + frac left(1
ight)><1!>left(x-1
ight) + frac left(1
ight)><2!>left(x-1
ight)^2,$$ и тогда получили бы $$ fleft(x
ight) = x^2 — 3x + 1 = fleft(1
ight) + frac left(1
ight)><1!>left(x-1
ight) + frac left(1
ight)><2!>left(x-1
ight)^2 + r_2left(x
ight), $$ где $r_2left(x
ight) = fleft(x
ight) — P_2left(x
ight) = arleft(left(x-1
ight)^2
ight) left(x o 1
ight)$. На самом деле оказывается, что $r_2left(x
ight) ≡ 0$. Действительно, данный пример можно решить проще, если многочлен $x^2−3x+1$ расписать по степеням $x−1$, а именно: $x^2−3x+1 = left(left(x-1
ight) + 1
ight)^2-3left(left(x-1
ight)+1
ight)+1 = $$ $$= -1-left(x-1
ight)+left(x-1
ight)^2 = P_2 left(x
ight).$ Справа мы получили многочлен по степеням $x−1$. Данная функция $x^2 − 3x + 1$ представляет собой многочлен. В силу единственности, это и есть многочлен Тейлора для функции в окрестности точки $x_0 = 1$.

Построить формулу Тейлора для функции $fleft(x
ight)=sin x$ порядка $n = 3$ в окрестности точки $x_0 = frac<pi><2>$.
Решение

Разложим выражения $sqrt<1+2x>$, $e^x$ и $sin x$ по формуле Тейлора в окрестности точки $x_0 = 0$ порядка $n=1$: $$sqrt <1+x>=left(1+x
ight)^<frac<1><2>>=1+frac<1><2>x+arleft(x
ight);$$ $$ e^x=1+x+ar
left(x
ight).$$
Используя эти разложения и заменив в знаменателе функцию $sin x$ на эквивалентную ей в окрестности точки $x_0=0$ функцию $x$, получаем из исходной дроби следующую: $$frac<1+frac<displaystyle 1><displaystyle 2>x-1-x+ar
left(x
ight)>
left(x
ight)>.$$
Тогда в пределе получаем выражение
$$limlimits_ frac <-frac<displaystyle x><displaystyle 2>+ar
left(x
ight)>
left(x
ight)>.$$ Если поделить почленно числитель и знаменатель дроби на $x$, то получим $$limlimits_ frac <-frac<displaystyle 1><displaystyle 2>+frac<displaystyle ar
left(x
ight)><displaystyle x>> <1+frac<displaystyle ar
left(x
ight)><displaystyle x>>.$$ Выражения вида $frac<displaystyle ar
left(x
ight)><displaystyle x>$ в пределе дадут $0$. Тогда в ответе получаем $frac<-1><2>.$

(Rn(x) — остаточный член формулы Тейлора).

Остаточный член формулы Тейлора

В форме Лагранжа:

при

Ссылка на основную публикацию
Формула частота в excel
При анализе данных периодически возникает задача подсчитать количество значений, попадающих в заданные интервалы "от и до" (в статистике их называют...
Уравнение плоскости по двум пересекающимся прямым
УСЛОВИЕ: Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые x-2/3=y+1/2=z-3/-2 x-1/3=y-2/2=z+3/-2 Добавил yelymcheav , просмотры: ☺ 1976 ⌚ 2019-05-14 15:35:56....
Уравнение баланса мощностей формула
При решений электротехнических задач, часто нужно проверить правильность найденных значений. Для этого в науке ТОЭ, существует так называемый баланс мощностей....
Формула тейлора с остатком в форме пеано
Формулировка: Если существует , то представима в следующем виде: Это выражение называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано...
Adblock detector