Формула гаусса численное интегрирование

Формула гаусса численное интегрирование

Погрешность метода тем меньше, чем выше порядок многочлена, при численном интегрировании которого получается точный результат. Чтобы упростить выкладки, изменим пределы интегрирования так, чтобы они стали равными (+1, -1). Для этого введем новую переменную

Интеграл (1) после такой подстановки запишется в виде

Это означает, что соответствующей заменой переменных можно свести все интегралы к виду (1.9).

Попытаемся определить, чего можно добиться при наличии всего двух ординат, т.е. в том случае, когда кривая, которой мы заменяем подынтегральную функцию, является прямой линией. Другими словами, попытаемся найти такую интегральную функцию

Рис. 3. Геометрическое представление метода Гаусса с двумя ординатами.

Интеграл, стоящий в левой части этого уравнения, представляет собой площадь трапеции на рис.3. Пусть сумма площадей вертикально заштрихованных участков (между -1 и м и от м1 до + 1) равна площади зачерненного участка (между м и м1). Тогда площадь трапеции в точности равна площади под кривой у = ц(м). Задача заключается в нахождении такой прямой линии, для которой достигается это равенство.

где необходимо определить А, А1, м, м1. Так как в формуле имеются четыре параметра, то естественно предположить, что формула даст точный результат при интегрировании кубической параболы

Перепишем эту функцию в виде

Так как это равенство должно быть справедливо для любых в и в1 то необходимо потребовать выполнения двух следующих равенств:

Выполнив интегрирование, можно записать два последних равенства в виде

откуда следует, что

Теперь остается только найти А и А1 в формуле (1.11). Заметим, что

И из формул (11) и (12) следует, что

Так как значение выражения в правой части последней формулы должно быть равно значению интеграла в формуле (1.13) при всех б и б1, то для А и А1 получаем систему уравнений

из которой находим

Уравнение (1.11) окончательно запишется в виде

Это и есть формула численного интегрирования Гаусса для случая двух ординат. Ошибка ограничения равна нулю при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно. Естественно ожидать, что при интегрировании многочленов высших степеней и прочих функций ошибка ограничения будет определяться формулой

Чтобы найти К, предположим, что

Точное значение интеграла легко вычислить:

С другой стороны, из формул (1.15) и (1.16)

и окончательная формула для ошибки ограничения запишется в следующем виде:

Можно вывести гауссовы формулы численного интегрирования более высоких порядков, предусматривая большее количество ординат и вводя различные весовые коэффициенты Ai:

Читайте также:  Какой самый тонкий смартфон

В общем случае, при (n + 1) ординате, получается точная формула для нахождения интеграла от многочлена степени 2n + 1.

Оказывается, что значения мi в уравнении (1.17) являются корнями полиномов Лежандра степени n. По этой причине вышеописанный метод численного интегрирования часто называют методом Лежандра — Гaycca. Полиномы Лежандра Рn (м) можно найти с помощью рекуррентных формул

Например, для m = 2

Заметим, что корни Р2(м) равны , как мы уже определили ранее.

Весовые коэффициенты в формуле (18) можно найти из следующего соотношения:

В качестве примера возьмем n = 2, так что , и . При этом

и совершенно аналогично А1 = 1.

В общем случае ошибка ограничения определяется формулой

Итак, метод Гаусса позволяет достичь большей точности, нежели формула Симпсона при том же количестве ординат, но зато точки, где следует определять эти ординаты, полностью определены и совершенно не зависят от произвола программиста. Как и во многих других случаях, при численном интегрировании приходится делать выбор между простотой формулы Симпсона и возможной экономией машинного времени при использовании метода Гаусса. На практике чаще используется метод Симпсона.

Численные примеры и сравнение методов

Рассмотрим следующий интеграл:

Программа вычисления в системе Matlab приведена в Приложении 1. Результат решения:

a = 1; b = 1; x0 = 1; xn = 3; n = 100; h = 0.020000000000000;

метод трапеций: s = 0.250007291505220

аналитические решения: s = 0.250000000000000

метод Симпсона: s = 0.250000000645597

квадратурные формулы Гаусса: s = 0.249997523978987

метод Чебышева: s = 0.249974640808074

Выводы имеют общий характер.

1. Формула Симпсона при n ординатах дает примерно ту же степень точности, что и формула трапеций при 2n ординатах.

2. Метод Гaycca при n ординатах дает примерно ту же степень точности, что и формула Симпсона при 2n ординатах.

3. Для достижения той же степени точности при использовании формулы Симпсона приходится производить примерно вдвое меньше вычислений, чем по формуле трапеций, которая требует вдвое большего количества ординат.

4. Для достижения той же степени точности при использовании метода Гаусса приходится производить примерно вдвое меньше вычислений, чем по формуле Симпсона благодаря вдвое меньшему количеству ординат.

Экономия времени при использовании метода Гаусса имеет свою оборотную сторону. Дело в том, что если приходится заново вычислять тот же интеграл с большим количеством точек, то нельзя использовать ранее вычисленные ординаты, так как они находятся в неподходящих местах.

Вычисляет определенный интеграл методом прямоугольников, трапеций или парабол (методом Симпсона).

Численные методы вычисления значения определенного интеграла применяются в том случае, когда первообразная подинтегральной функции не выражается через аналитические функции, и поэтому невозможно вычислить значение по формуле Ньютона-Лейбница. Для получения значения определенного интеграла таких функций можно воспользоваться численным интегрированием.

Читайте также:  При входящем звонке включается громкая связь андроид

Численное интегрирование сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, осью х и вертикальными прямыми ограничивающими отрезок слева и справа. Подинтегральная функция заменяется на более простую, обеспечивающую заданную точность, вычисление интеграла для которой не составляет труда.

Калькулятор ниже вычисляет значение одномерного определенного интеграла численно на заданном отрезке, используя формулы Ньютона-Котеса, частными случаями которых являются:

Интеграл численным методом по формулам Ньютона-Котеса

Численное интегрирование с использованием функций Ньютона Котеса

При использовании функций Ньютона-Котеса отрезок интегрирования разбивается на несколько равных отрезков точками x1,x2,x3..xn.
Подинтегральную функцию заменяют интерполяционным многочленом Лагранжа различной степени, интегрируя который, получают формулу численного интегрирования различного порядка точности.

В итоге, приближенное значение определенного интеграла вычисляется, как сумма значений подинтегральной функции в узлах, помноженных на некоторые константы Wi (веса):

  • Rn — остаток или погрешность.
  • n — общее количество точек.
  • Сумма в формуле — квадратурное правило (метод).

В справочнике Квадратурные функции Ньютона-Котеса, мы собрали наиболее часто встречающиеся квадратурные правила, для интегрирования по равным отрезкам. Зарегистрированные пользователи могут добавлять в этот справочник новые правила.

Границы отрезка интегрирования

В зависимости от того, входят ли граничные точки отрезка в расчет, выделяют замкнутые и открытые квадратурные правила.

Открытые правила, (правила, в которых граничные точки не включаются в расчет) удобно использовать в том случае, если подинтегральная функция не определена в некоторых точках.
Например, используя метод прямоугольников мы сможем вычислим приблизительное значение интеграла функции ln(x) на отрезке (0,1), несмотря на то, что ln(0) не существует.

Замкнутые правила, напротив, используют значения функции в граничных точках для вычислений интеграла, ровно так же как и в остальных узлах.

Можно придумать правила, которые открыты только с одной стороны. Простейшим случаем таких правил являются правила левых и правых прямоугольников.

Погрешность вычисления

В целом с увеличением количества узлов в правиле (при повышении степени интерполирующего полинома) возрастает точность вычисления интеграла. Однако для некоторых функций это может и не быть справедливо.
Впервые анализ этой особенности опубликовал Карл Рунге, немецкий математик, занимавшийся исследованием численных методов.
Он заметил, интерполирующий полином с равномерным разбиением отрезка для функции перестает сходиться в диапазоне значений 0.726.. ≤ |x| 10 применять не рекомендуется.

Для увеличения точности численного интегрирования, можно разбить отрезок на несколько частей — частичных интервалов, и для каждой части отдельно вычислить приближенное значение интеграла. Сумма значений интеграла по всем частичным интервалам даст нам значение интеграла на всем отрезке. Кроме того можно комбинировать различные правила друг с другом в любой последовательности.

Читайте также:  Как отправить папку архивом

Для исследования работы с заданной функцией новых, основанных на формулах Ньютона-Котеса правил, можно воспользоваться базовым калькулятором, в котором веса задаются в явном виде:

Численное интегрирование определённых интегралов

с высокой точностью. Квадратурные формулы

Как было отмечено на предыдущей лекции численное вычисление определённых интегралов сводится к вычислению квадратурной суммы вида

где [a; b] – любой конечный или бесконечный отрезок числовой оси; р(х) – весовая функция, учитывающая особенности поведения подынтегральной функции; f(x) – произвольная гладкая функция ; Ak – квадратурные коэффициенты, xk – квадратурные узлы..

Квадратурная сумма однозначно определяется 2n+1 параметром: n значений Ак, n – значений хk и сам параметр n – число разбиений отрезка [a; b]. Чтобы получить более точный результат при вычислениях с помощью простейших квадратурных формул, следует дробить отрезок интегрирования на достаточно большое число интервалов. (Это наблюдалось, при рассмотрении простейших квадратурных формул трапеций и Симпсона)

Однако возможны и другие способы повышения точности квадратурных формул. Достижение точности можно добиться за счёт правильного или оптимального выбора узлов xk и квадратурных коэффициентов Ak.

Если по условию задачи узлы можно выбирать произвольным образом и функция f(x) обладает высокой степенью гладкости, то для вычисления определённых интегралов применяют квадратурные формулы типа Гаусса.

Пусть необходимо вычислить определённый интеграл вида:

где f(x) – имеет высокую степень гладкости на интервале [-1; 1].

Данную задачу можно решить с помощью квадратурной формулы

.

Гауссом было доказано, что для достижения наивысшей точности результата интегрирования необходимо в качестве узлов квадратурной формулы взять корни многочлена Лежандра

.

Коэффициенты Ак при этом вычисляются по формулам

.

Рассмотрим применение этих формул.

При n=1 имеем одну узловую точку внутри отрезка [-1; 1], которая определяется из уравнения

Т.к. , то узловую точку находим из уравнения Отсюда

Т.к. , то .

При n=2 получаем две узловые точки внутри отрезка [-1; 1], которые определяется из уравнения

Преобразовав его получаем

.

Его решение . Т.к. ,

то общая формула для вычисления квадратурных коэффициентов приобретёт вид . Подставляя узловые точки, получаем:

при ;

при .

Для различного числа разбиения отрезка [-1; 1] можно получить таблицу узлов xk и коэффициентов Ak. (Как это сделать будет показано на практическом занятии)

Ссылка на основную публикацию
Уравнение плоскости по двум пересекающимся прямым
УСЛОВИЕ: Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые x-2/3=y+1/2=z-3/-2 x-1/3=y-2/2=z+3/-2 Добавил yelymcheav , просмотры: ☺ 1976 ⌚ 2019-05-14 15:35:56....
Тест соловея штрассена c
Символ Якоби отличается от символа Лежандра тем, что в первом знаменатель – составное число, а во втором – простое. Алгоритм...
Тест стиральной машины bosch maxx 5
Самодиагностика – это очень важная функция, которая отличает современные стиральные машины с электронным управлением от старой аналоговой техники. Запустив сервисный...
Уравнение баланса мощностей формула
При решений электротехнических задач, часто нужно проверить правильность найденных значений. Для этого в науке ТОЭ, существует так называемый баланс мощностей....
Adblock detector