Что значит вынести общий множитель за скобки

Что значит вынести общий множитель за скобки

Вынесение общего множителя – один из основных способов разложения на множители. По сути является действием обратным раскрытию скобок.

Например, выражение (5x+xy) можно представить как (x(5+y)). Это и в самом деле одинаковые выражения, мы можем в этом убедиться если раскроем скобки: (x(5+y)=x cdot 5+x cdot y=5x+xy). Как видите, в результате мы получаем исходное выражение. Значит, (5x+xy) действительно равно (x(5+y)). Кстати, это надежный способ проверки правильности вынесения общих множителей – раскрыть полученную скобку и сравнить результат с исходным выражением.

Главное правило вынесения за скобку:

Выносить за скобку можно только те множители, которые есть во всех слагаемых (одночленах).

К примеру, в выражении (3ab+5bc-abc) за скобку можно вынести только (b), потому что лишь оно есть во всех трех слагаемых. Процесс вынесения общих множителей за скобку представлен на схеме ниже:

Правила вынесения за скобки

В математике принято выносить сразу все общие множители.

Пример: (3xy-3xz=3x(y-z))
Обратите внимание, здесь мы могли бы разложить и вот так: (3(xy-xz)) или так: (x(3y-3z)). Однако это были бы неполные разложения. Выносить надо и тройку, и икс.

Иногда общие члены сразу не видны.

Пример: (10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y))
В этом случае общий член (пятерка) была скрыта. Однако разложив (10) как (2) умножить на (5), а (15) как (3) умножить на (5) – мы «вытащили пятерку на свет Божий», после чего легко смогли вынести ее за скобку.

Если одночлен выносится полностью – от него остается единица.

Пример: (5xy+axy-x=x(5y+ay-1))
Мы за скобку выносим (x), а третий одночлен и состоит только из икса. Почему же от него остается единица? Потому что если любое выражение умножить на единицу – оно не изменится. То есть этот самый (x) можно представить как (1cdot x). Тогда имеем следующую цепочку преобразований:

Более того – это единственно правильный способ вынесения, потому что если мы единицу не оставим, то при раскрытии скобок мы не вернемся к исходному выражению. Действительно, если сделать вынесение вот так (5xy+axy-x=x(5y+ay)), то при раскрытии мы получим (x(5y+ay)=5xy+axy). Третий член – пропал. Значит, такое вынесение некорректно.

Читайте также:  Для чего нужно приложение netflix

За скобку можно выносить знак «минус», при этом знаки членов с скобке меняются на противоположные.

Пример: (x-y=-(-x+y)=-(y-x))
По сути здесь мы выносим за скобку «минус единицу», которая может быть «выделена» перед любым одночленом, даже если минуса перед ним не было. Мы здесь используем тот факт, что единицу можно записать как ((-1) cdot (-1)). Вот тот же пример, расписанный подробно:

Скобка тоже может быть общим множителем.

Пример: (3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2))
С такой ситуацией (вынесением за скобку скобки) чаще всего мы сталкиваемся при разложении на множители методом группировки или решении уравнений методом расщепления.

Степень также может выноситься за скобку как общий множитель.

Пример: (x^5-x^3+x^2=x^2 (x^3-x+1))
Действительно, ведь (x^5) — это тоже самое, что (x·x·x·x·x),
(x^3) — это тоже самое, что (x·x·x),
(x^2) — это тоже самое, что (x·x).

Таким образом, получаем:

Теперь у нас в каждом члене есть общие множители (x·x) — их и выносим:

Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, равное данному многочлену.

Есть несколько способов разложения многочлена на множители. Один из них – вынесение общего множителя за скобки.

Вынесение общего множителя за скобки — это преобразование многочлена в произведение с помощью распределительного свойства умножения. Только в случае вынесения множителя за скобки это свойство применяется справа налево:

Определение общего множителя для всех членов многочлена производится пошагово:

  1. Если у каждого члена есть коэффициент, то находим число, на которое делится коэффициент каждого члена, и выносим его за скобки.
  2. Находим переменные, которые встречаются в каждом члене. Переменные выносятся за скобки в наименьшей встречающейся степени.
  3. Определяем многочлен, который должен остаться в скобках. Обратите внимание, что многочлен в скобках должен иметь столько же членов, сколько было в исходном многочлене.

Рассмотрим разложение многочлена на множители методом вынесения общего множителя за скобки на примере многочлена:

  1. Рассматриваем коэффициенты 20, 10 и 15. Нам нужно найти для них наибольший общий делитель. Для данных чисел он равен 5. Число 5 и будет общим множителем для всех коэффициентов.
  2. Буквенный множитель a есть во всех трёх членах. Возьмём его во второй степени (a 2 ), так как это его наименьшая степень, встречающаяся в членах многочлена. По такому же принципу возьмём множитель c.
  3. Множитель b встречается только в двух членах из трёх, поэтому его мы в общий множить включить не сможем.
Читайте также:  Уже установлена более новая версия adobe reader

В итоге мы получили следующие общие множители 5, a 2 и c. Их произведение 5a 2 c представляет наибольший общий множитель, который будет вынесен за скобки.

Теперь надо вычислить многочлен, который должен быть в скобках. Для этого надо разделить каждый член исходного многочлена на общий множитель, который мы нашли:

20a 2 bc 2 = 4bc
5a 2 c

10a 3 c = 2a
5a 2 c

15a 2 b 2 c = 3b 2
5a 2 c

Обратите внимание, что вынесение общего множителя за скобки – это действие, обратное умножению одночлена на многочлен:

В работе ученица 8 класса расписала правило разложения многочлена на множители путём вынесения общего множителя за скобки с подробным ходом решения множества примеровм по данной теме. На каждый разобранный пример предложено по 2 примера для самостоятельного решения, к которым есть ответы. Работа поможет изучить данную тему тем ученикам, которые по каким-то причинам её не усвоил при прохождении программного материала 7 класса и (или) при повторении курса алгебры в 8 классе после летних каникул.

Скачать:

Вложение Размер
chichaeva_d._vynesenie_obshchego_mnozhitelya_za_skobki.docx 26.56 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №32

«Ассоциированная школа ЮНЕСКО «Эврика-развитие»

г. Волжского Волгоградской области

Вынесение общего множителя за скобки

Ученица 8В класса

Вынесение общего множителя за скобки

  • — Одним из способов разложения многочлена на множители является вынесение общего множителя за скобки;
  • — При вынесении общего множителя за скобки применяется распределительное свойство ;
  • — Если все члены многочлена содержат общий множитель , то этот множитель можно вынести за скобки .

При решении уравнений, в вычислениях и ряде других задач бывает полезно заменить многочлен произведением нескольких многочленов (среди которых могут быть и одночлены). Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называют разложение многочлена на множители.

Рассмотрим многочлен 6a 2 b+15b 2 . Каждый его член можно заменить произведением двух множителей, один из которых равен 3b: →6a 2 b = 3b*2a 2 , + 15b 2 = 3b*5b →из этого мы получим: 6a 2 b+15b 2 =3b*2a 2 +3b*5b.

Читайте также:  Интересные и полезные приложения для iphone

Полученное выражение на основе распределительного свойства умножения можно представить в виде произведения двух множителей. Один из них – общий множитель 3b , а другой – сумма 2а 2 и 5b→ 3b*2a 2 +3b*5b=3b(2a 2 +5b) →Таким образом, мы разложили многочлен: 6a 2 b+15b 2 на множители, представив его в виде произведения одночлена 3b и многочлена 2a 2 +5b. Данный способ разложения многочлена на множители называют вынесение общего множителя за скобки.

Разложите на множители:

Множитель х есть и в 1 слагаемом и во 2 слагаемом. Поэтому х выносим за скобки.

Множитель 4 есть и в 1 слагаемом и во 2 слагаемом. Поэтому 4 выносим за скобки.

-9m и -27n делятся на -9 . Поэтому выносим за скобки числовой множитель -9.

5 и 15 делятся на 5; y 2 и у делятся на у.

Поэтому выносим за скобки общий множитель 5у .

5y 2 : 5у=у; -15y: 5у=-3.

Итак: 5y 2 -15y=5у*(у-3).

Замечание: Из двух степеней с одинаковым основанием выносим степень с меньшим показателем.

16 и 12 делятся на 4; y 3 и y 2 делятся на y 2 .

Значит, общий множитель 4y 2 .

16y 3 : 4y 2 =4y; 12y 2 : 4y 2 =3.

В результате мы получим: 16y 3 +12y 2 =4y 2 *(4у+3).

е) Разложите на множители многочлен 8b(7y+a)+n(7y+a).

В данном выражении мы видим, присутствует один и тот же множитель (7y+a) , который можно вынести за скобки. Итак, получим: 8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a).

Выражения b-c и c-b являются противоположными. Поэтому, чтобы сделать их одинаковыми, перед d меняем знак «+» на «-» :

Далее следуем образцу из предыдущего примера и получаем запись:

Примеры для самостоятельного решения:

1) m(х+у); 2) а(х+у); 3) 5(х+у); 4) 12(х+4у); 5 ) 7х(a+b); 6) 7(2х+3у); 7) -а(m+1); 8) 4m(2n-m);

9) -4y(3y 3 +4); 10) 15у 2 (у-2); 11) (y-2c)(5с+у 2 ); 12) (a-3)(8m+n); 13) (y-5)(x+y); 14) (2x-7)(3a-5b).

Ссылка на основную публикацию
Чернила светятся в ультрафиолете
Употребление симпатических (невидимых) чернил подразумевает запись неразличимую в обычных обстоятельствах, но появляющуюся после фото, химической или физической проявки. Это есть...
Формула частота в excel
При анализе данных периодически возникает задача подсчитать количество значений, попадающих в заданные интервалы "от и до" (в статистике их называют...
Формула тейлора с остатком в форме пеано
Формулировка: Если существует , то представима в следующем виде: Это выражение называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано...
Чернила для принтера в шприцах
Заправочные комплекты INKO в шприцах 3х20 мл., с высококачественными чернилами на основе красителя (Dye ink) и пигментные чернила (Pigment ink)...
Adblock detector