Что такое dx в интегралах

Что такое dx в интегралах

Определение интеграла, определенного и неопределенного, таблица интегралов, формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям, примеры вычисления интегралов.

Неопределенный интеграл

Пусть u = f(x) и v = g(x) — функции, имеющие непрерывные производные. Тогда, по правилу дифференцирования произведения,

d(uv))= udv + vdu или udv = d(uv) — vdu.

Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

∫ udv = uv — ∫ vdu (8.4.)

Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Оно приводит интегрирование выражения udv=uv’dx к интегрированию выражения vdu=vu’dx.

Пусть, например, требуется найти ∫xcosx dx. Положим u = x, dv = cosxdx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x — ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например, ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

Определенный интеграл

Методы интегрирования, понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке [a,b] определена функция f(x). Разобьем отрезок [ a,b] на n частей точками a= x 2 +1), v=x, откуда ∫arctgxdx = xarctgx — ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; так как
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Пример3.35. Вычислить ∫lnxdx.

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тогда ∫lnxdx = xlnx — ∫x 1/x dx =
= xlnx — ∫dx + C= xlnx — x + C.

Пример3.36. Вычислить ∫e x sinxdx.

Решение. Применим формулу интегрирования по частям. Обозначим u = e x , dv = sinxdx, тогда du = e x dx, v =∫sinxdx= — cosx → ∫ e x sinxdx = — e x cosx + ∫ e x cosxdx. ∫e x cosxdx также интегрируем по частям: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Имеем:
∫ e x cosxdx = e x sinx — ∫ e x sinxdx. Получили соотношение ∫e x sinxdx = — e x cosx + e x sinx — ∫ e x sinxdx, откуда 2∫e x sinx dx = — e x cosx + e x sinx + С.

Пример 3.37. Вычислить J = ∫cos(lnx)dx/x.

Решение.Так как dx/x = dlnx, то J= ∫cos(lnx)d(lnx). Заменяя lnx через t, приходим к табличному интегралу J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Пример 3.38. Вычислить J = .

Решение. Учитывая, что = d(lnx), производим подстановку lnx = t. Тогда J = .

Пример 3.39. Вычислить J = .

Решение. Имеем: . Поэтому =

=.

Пример 3.40. Можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница к интегралу ?

Решение. Нет, нельзя. Если формально вычислять по формуле Ньютона-Лейбница, то получим неверный результат. Действительно, = .

Но подынтегральная функция f(x) = > 0 и, следовательно, интеграл не может равняться отрицательному числу. Суть дела заключается в том, что подынтегральная функция f(x) = имеет бесконечный разрыв в точке x = 4, принадлежащей промежутку интегрирования. Следовательно, здесь формула Ньютона-Лейбница неприменима.

Пример 3.41. Вычислить .

Решение. Подынтегральная функция определена и непрерывна при всех значениях х и, следовательно, имеет первообразную F(x)= .

По определению имеем: = .

По формуле Ньютона-Лейбница,

= F(b) — F(0) = + = ;

= = .

Определение. Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке [a;b] , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F`(x) = f(x) .

Читайте также:  Нужно перевести на русский

(1 — cos x)` = sin x

Функция f(x) непрерывная функция на отрезке [a;b] .

Теорема . Если функция F 1 (x) b F 2 (x) — две первообразные от функции f(x) на отрезке [a;b] , то разность между ними равна постоянному числу.

F 2 `(x) = f(x) , то F 1 `(x) — F 2 `(x) = Const .

φ ` ( x ) = F 1 ` — F 2 ` = 0

F 1 (x) — F 2 (x) = φ( x ) (2)

Тогда на основании равенств (1) будет:

F 1 `(x) — F 2 ` ( x ) = f(x) — f(x) = 0 или φ ` ( x ) = [F 1 (x) — F 2 (x)]` = 0 при любом значении x на отрезке [a;b] . Но из равенства φ ` ( x ) = 0 следует, что φ( x ) есть постоянная.

Действительно , применим теорему Лагранжа к функции φ( x ), которая, очевидно, непрерывна и дифференцируема на отрезке [a;b] . Какова ни была точка x на отрезке [a;b] , мы имеем в силу теоремы Лагранжа.

φ ( x ) — φ ( a ) = φ ` ( x ) (x-a) , где a x x .

Так как φ ` ( x ) = 0, то φ ( x ) — φ ( a ) = 0 или φ ( x ) = φ ( a ) (3)

Таким образом, функция φ( x ) в любой точке x отрезка [a;b] сохраняет значения φ( a ) , а это значит, что функция φ( x ) является постоянной на отрезке [a;b] . Обозначая постоянную φ( a ) через С, из равенств (2) , (3) полу ч аем :

Определение. Если функция F (x) является первообразной для f (x) , то выражение F (x) + С называется неопределённым интегралом от функции f (x) и обозначается символом ∫ f (x) dx. Таким образом, по определению,

∫ f (x) dx = F (x) + С, если F (x) = f (x) .

При этом функцию f (x) называют подынтегральной функцией, f (x) dx — подынтегральным выражением, знак ∫ — знаком интеграла.

Из этого определения следуют свойства:
1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если F`(x) = f (x) , то и

( ∫ f (x) dx )` = (F (x) + C)` = f (x) (4)

Последнее равенство нужно принимать в том смысле, что производная от любой первообразной равна подынтегральной функции.

2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению

d ( ∫ f (x) dx ) = f (x) dx (5)

Это получается на основании формулы (4)

3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

Справедливость последнего равенства легко проверить дифференцированием (дифференциала от обоих частей равенства равны dFx) )

Таблица неопределённых интегралов.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Интегрирование — есть линейная операция.

1. ∫ [f 1 (x) + f 2 (x)] dx = ∫ f 1 (x) dx + ∫ f 2 (x) dx

∫ a f (x) dx = a ∫ f (x) dx

2. ∫ f (x+c) dx = F (x+c) + C

3. Подстановка. 1-ый способ вычисления неопределённых интегралов.

x = φ (t), тогда ∫ f ( φ (t)) φ ` (t) dt = F (x) + C = ∫ f (x) dx

x = φ (t) dx dt = φ `

Интегрирование по частям.

Пусть u и v — две дифференцируемые функции от x . Тогда, как известно, дифференциал произведения uv вычисляется по следующей формуле:

Отсюда, интегрируя, получаем:

Последняя формула называется формулой интегрирования по частям. Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений, которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей u и dv , чтобы отыскание функции v по её дифференциалу dv и вычисление интеграла v du составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла u dv .

Читайте также:  Был ли мегалодон на самом деле

Пример. ∫ x sin x dx = ∫ — x cos x + ∫ cos x dx = -x cos x + sin x + C

Первообразная

Определение первообразной функции

  • Функцию у= F (x) называют первообразной для функции у=f (x) на заданном промежутке Х, если для всех хХ выполняется равенство: F′(x) = f (x)

Можно прочесть двумя способами:

  1. f производная функции F
  2. F первообразная для функции f
  • Если F(x) — первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С, где С — произвольная постоянная.
  • Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу.

Правила вычисления первообразных

  1. Первообразная суммы равна сумме первообразных. Если F(x) — первообразная для f(x), а G(x) — первообразная для g(x), то F(x) + G(x) — первообразная для f(x) + g(x).
  2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной. Если F(x) — первообразная для f(x), и k — постоянная, то k·F(x) — первообразная для k·f(x).
  3. Если F(x) — первообразная для f(x), и k, b — постоянные, причём k ≠ 0, то 1/k · F(kx + b) — первообразная для f(kx + b).

Запомни!

Любая функция F(x) = х 2 + С, где С — произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х.

Связь между графиками функции и ее первообразной:

  1. Если график функции f(x)>0 на промежутке, то график ее первообразной F(x) возрастает на этом промежутке.
  2. Если график функции f(x) int f(x) dx = F(x) + C
  • f(x) — называют подынтегральной функцией;
  • f(x) dx — называют подынтегральным выражением;
  • x — называют переменной интегрирования;
  • F(x) — одна из первообразных функции f(x);
  • С — произвольная постоянная.

Свойства неопределённого интеграла

  1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: (int f(x) dx)prime= f(x) .
  2. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла: int k cdot f(x) dx = k cdot int f(x) dx .
  3. Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций: int (f(x) pm g(x)) dx = int f(x) dx pm int g(x) dx .
  4. Если k, b — постоянные, причём k ≠ 0, то int f(kx + b) dx = frac < 1 >< k >cdot F(kx + b) + C .

Таблица первообразных и неопределенных интегралов

Функция

f(x)

Первообразная

F(x) + C

Неопределенные интегралы

int f(x) dx = F(x) + C

C int 0 dx = C f(x) = k F(x) = kx + C int kdx = kx + C f(x) = x^m, m
ot =-1 F(x) = frac < x^ < m+1 >> < m+1 >+ C int x < ^m >dx = frac < x^ < m+1 >> < m+1 >+ C f(x) = frac < 1 > F(x) = l n lvert x
vert + C int frac < dx > < x >= l n lvert x
vert + C f(x) = e^x F(x) = e^x + C int e < ^x >dx = e^x + C f(x) = a^x F(x) = frac < a^x > < l na >+ C int a < ^x >dx = frac < a^x > < l na >+ C f(x) = sin x F(x) = -cos x + C int sin x dx = -cos x + C f(x) = cos x F(x) =sin x + C int cos x dx = sin x + C f(x) = frac < 1 > < sin < ^2 >x > F(x) = -ctg x + C int frac < dx > < sin < ^2 >x > = -ctg x + C f(x) = frac < 1 > < cos < ^2 >x > F(x) = g x + C int frac < dx > < sin < ^2 >x > = g x + C f(x) = sqrt F(x) =frac < 2x sqrt < x >> < 3 >+ C f(x) =frac < 1 > < sqrt < x >> F(x) =2sqrt < x >+ C f(x) =frac < 1 > < sqrt < 1-x^2 >> F(x)=arcsin x + C int frac < dx > < sqrt < 1-x^2 >> =arcsin x + C f(x) =frac < 1 > < sqrt < 1+x^2 >> F(x)=arctg x + C int frac < dx > < sqrt < 1+x^2 >> =arctg x + C f(x)=frac < 1 > < sqrt < a^2-x^2 >> F(x)=arcsin frac < x > < a >+ C int frac < dx > < sqrt < a^2-x^2 >> =arcsin frac < x > < a >+ C f(x)=frac < 1 > < sqrt < a^2+x^2 >> F(x)=arctg frac < x > < a >+ C int frac < dx > < sqrt < a^2+x^2 >> = frac < 1 > < a >arctg frac < x > < a >+ C f(x) =frac < 1 > F(x)=arctg + C int frac < dx > < 1+x^2 >=arctg + C f(x)=frac < 1 > < sqrt < x^2-a^2 >> (a
ot= 0) F(x)=frac < 1 > < 2a >l n lvert frac < x-a > < x+a >
vert + C int frac < dx > < sqrt < x^2-a^2 >> =frac < 1 > < 2a >l n lvert frac < x-a > < x+a >
vert + C f(x)= g x F(x)= — l n lvert cos x
vert + C int g x dx =- l n lvert cos x
vert + C f(x)=ctg x F(x)= l n lvert sin x
vert + C int ctg x dx = l n lvert sin x
vert + C f(x)=frac < 1 > F(x)= l n lvert g frac < x > < 2 >
vert + C int frac < dx > < sin x >= l n lvert g frac < x > < 2 >
vert + C f(x)=frac < 1 > F(x)= l n lvert g (frac < x > < 2 >+frac < pi > < 4 >)
vert + C int frac < dx > < cos x >= l n lvert g (frac < x > < 2 >+frac < pi > < 4 >)
vert + C
Читайте также:  Духовые шкафы как правильно выбрать

Формула Ньютона–Лейбница

Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.

где F(x) — первообразная для f(x)

То есть, интеграл функции f (x) на интервале [a;b] равен разности первообразных в точках b и a.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.

Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:

Ссылка на основную публикацию
Чернила светятся в ультрафиолете
Употребление симпатических (невидимых) чернил подразумевает запись неразличимую в обычных обстоятельствах, но появляющуюся после фото, химической или физической проявки. Это есть...
Формула частота в excel
При анализе данных периодически возникает задача подсчитать количество значений, попадающих в заданные интервалы "от и до" (в статистике их называют...
Формула тейлора с остатком в форме пеано
Формулировка: Если существует , то представима в следующем виде: Это выражение называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано...
Чернила для принтера в шприцах
Заправочные комплекты INKO в шприцах 3х20 мл., с высококачественными чернилами на основе красителя (Dye ink) и пигментные чернила (Pigment ink)...
Adblock detector