Численное решение систем дифференциальных уравнений

Численное решение систем дифференциальных уравнений

Довольно часто на практике приходится искать решение системы, состоящей из ОДУ первого порядка. Рассмотрим используемые численные методы для решения таких систем. Пусть дана система из двух уравнений:

где неизвестные функции у и z зависят от переменной х. Тогда решением системы ОДУ на некотором конечном или бесконечном промежутке X называется пара непрерывно дифференцируемых на X функций у = (р(х), z = у/(х), которые при подстановке в систему превращают уравнения в тождества на X.

Задача Коши для системы выглядит следующим образом:

Решением этой задачи будут две таблично заданные функции у = у(х) и z = z(x), определенные на множестве точек х, = хп + hi (i = 0, 1, . п). Начальные данные этих функций: х,уо и хо, z(, соответственно. Используя метод Эйлера, получим:

В случае необходимости найти решение обыкновенного дифференциального уравнения /7-го порядка (/; > 1), это уравнение заменяется на соответствующую систему из п дифференциальных уравнений первого порядка.

Рассмотрим алгоритм решения ОДУ третьего порядка.

Начальные условия перепишутся следующим образом:

Решение для этой системы имеет три функции у = ip(x), z = i//(x), и = Ф(х), одна из которых у = ср(х), является точным решением задачи Коши для исходного уравнения.

В этом разделе приведены примеры решенных задач по теме численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и систем. Разобраны наиболее известные методы Эйлера, Рунге-Кутта (разных порядков), приведено сравнение приближенных и точных решений, построены графики.

Решения задач на численное интегрирование дифференциальных уравнений онлайн

Задача 1.Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка
на отрезке $[t_0, T]$ с шагом $h=0.2$ а) методом Эйлера; б) методом Рунге-Кутты 2-го порядка с оценкой погрешности по правилу Рунге.
Найти точное решение задачи. Построить на одном чертеже графики точного и приближенных решений.

Читайте также:  Музыкальный смартфон со стереодинамиками

Задача 2. Используя 1) метод Эйлера и 2) модифицированный метод Эйлера, найдите приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка $y’=f(x,y)$ удовлетворяющего начальным условиям $y(x_0)=y_0$ на отрезке $[a,b]$ с шагом $h=0.1$. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.

Задача 3. Численно решить задачу Коши для ОДУ 2-ого порядка методом Рунге-Кутта 4-го порядка. $$u»+e^x u’-(10+sin x )u+f=0, 0lt x lt 1$$ $$u(0)=0; u'(0)=50$$ $$f=50((11+sin x) sin x-e^x cos x). $$ Точное решение: $u=50 sin x, h=0.05, n=20$

Задача 4. Методом конечных разностей найти решение краевой задачи с шагами $h_1=(b-a)/5$, $h_2=(b-a)/10$ и оценить погрешность по правилу Рунге. Построить графики полученных приближенных решений.

Ссылка на основную публикацию
Чернила светятся в ультрафиолете
Употребление симпатических (невидимых) чернил подразумевает запись неразличимую в обычных обстоятельствах, но появляющуюся после фото, химической или физической проявки. Это есть...
Формула частота в excel
При анализе данных периодически возникает задача подсчитать количество значений, попадающих в заданные интервалы "от и до" (в статистике их называют...
Формула тейлора с остатком в форме пеано
Формулировка: Если существует , то представима в следующем виде: Это выражение называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано...
Чернила для принтера в шприцах
Заправочные комплекты INKO в шприцах 3х20 мл., с высококачественными чернилами на основе красителя (Dye ink) и пигментные чернила (Pigment ink)...
Adblock detector